Wolno zmieniająca się funkcja

W analizie rzeczywistej, dziedzinie matematyki, wolno zmieniająca się funkcja jest funkcją przypominającą funkcję zbieżną w nieskończoności. Wolno zmieniające się funkcje są ważne w teorii prawdopodobieństwa

Definicja

Funkcja $L \colon (0,\infty) \to (0,\infty)$ jest wolno zmieniająca się (w nieskończoności) jeśli dla dowolnego a > 0,

$\lim_{x \to \infty} \frac{L(ax)}{L(x)}=1.$

Jeżeli ta granica jest skończona ale niezerowa dla wszystkich a > 0, wówczas L jest nazywana regularnie zmieniająca się funcją. Definicja pochodzi od Jovana Karamaty.

Przykłady

• Jeśli $\lim_{x \to \infty} L(x) = b \in (0,\infty),$ wtedy $L$ jest wolno zmieniającą się funkcją.
• Dla dowolnego $\beta \in \Bbb{R}$, $L(x)= (\log x)^{\beta}$ jest wolno zmieniającą się funkcją.
• Funkcja $L(x)=x$ nie jest wolno zmieniająca się; nie jest taką też $L(x)=x^\beta$ dla dowolnego rzeczywistego $\beta\ne 0.$

Własności

Najważniejsze własności

• Granica w definicji jest jednostajna jeśli a jest ograniczone do odcinka skończonego.
• Każda regularnie zmieniająca się funkcja ma formę x ^βL(x) gdzie β ≥ 0 i L i jest wolno zmieniającą się funkcją.
• Dla każdej wolno zmieniającej się funkcji L, istnieje B > 0 takie, że dla wszystkich x ≥ B funkcja może być zapisana jako

$L(x) = \exp \left( \eta(x) + \int_B^x \frac{\varepsilon(t)}{t} \,dt \right)$

gdzie η(x) zbiega do skończonej liczby a ε(x) zbiega do zera gdy x zmierza do nieskończoności.