Współczynnik korelacji Pearsona

Przykładowe wykresy danych (x, y) i odpowiadające im wartości współczynnika korelacji liniowej Pearsona

Współczynnik korelacji liniowej Pearsona – współczynnik określający poziom zależności liniowej między zmiennymi losowymi. Został opracowany przez Karla Pearsona

Wzory matematyczne

Niech $x$ i $y$ będą zmiennymi losowymi o ciągłych rozkładach. $x_i, y_i$ oznaczają wartości prób losowych tych zmiennych ($i=1, 2, ..., n$), natomiast $\overline{x}, \overline{y}$ - wartości średnie z tych prób, tj. $\overline{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i, \overline{y} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n y_i$.

Wówczas estymator współczynnika korelacji liniowej definiuje się następująco:

$r_{xy} = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})(y_i - \overline{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2} \sqrt{\sum_{i=1}^n (y_i - \overline{y})^2}},$

$r_{xy} \in [-1, 1].$

Ogólnie współczynnik korelacji liniowej dwóch zmiennych jest ilorazem kowariancji i iloczynu odchyleń standardowych tych zmiennych:

$r_{XY} = \frac{\mathrm{cov}(X, Y)}{\sigma_X\sigma_Y}$

W szczególności dla zmiennych losowych o dyskretnych rozkładach ma on postać

$r_{XY} = \frac{\mathrm{cov}(X, Y)}{\sigma_X\sigma_Y} = \frac{\left(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mP(X=x_i,Y=y_j)x_iy_j\right) - \overline{X}\;\overline{Y} }{\sqrt{\left(\sum_{i=1}^nP(X=x_i)x_i^2\right)-\overline{X}^2 }\sqrt{\left(\sum_{i=1}^mP(Y=y_i)y_i^2\right) -\overline{Y}^2} }$

Wartość współczynnika korelacji mieści się w przedziale domkniętym [-1, 1]. Im większa jego wartość bezwzględna, tym silniejsza jest zależność liniowa między zmiennymi. $r_{xy} = 0$ oznacza brak liniowej zależności między cechami, $r_{xy} = 1$ oznacza dokładną dodatnią liniową zależność między cechami, natomiast $r_{xy} =-1$ oznacza dokładną ujemną liniową zależność między cechami, tzn. jeżeli zmienna $x$ rośnie, to $y$ maleje i na odwrót.

Współczynnik korelacji liniowej można traktować jako znormalizowaną kowariancję. Korelacja przyjmuje zawsze wartości w zakresie [-1, 1], co pozwala uniezależnić analizę od dziedziny badanych zmiennych.

Poziomy korelacji i ich interpretacja

Korelacje	Ujemne	Dodatnie
Słabe	−0,5 do 0,0	0,0 do 0,5
Silne	−1,0 do −0,5	0,5 do 1,0

Korelacje można interpretować jako silne, słabe, ujemne. Interpretacja taka jest jednak arbitralna i nie możemy jej traktować zbyt ściśle. Na przykład współczynnik równy 0,9 dla socjologów i ekonomistów oznacza silną korelację, a dla fizyków posługujących się wysokiej klasy pomiarami przy badaniu praw przyrody oznacza korelację słabą. Z drugiej strony poziom korelacji ma wpływ na czas życia korelacji.

Ograniczenia stosowalności

• podatny na obserwacje skrajne.
• interpretacja jest oczywista tylko dla wielowymiarowego rozkładu normalnego (jest wtedy estymatorem elementu macierzy współczynników tego rozkładu).

Zobacz też

• korelacja
• współczynnik korelacji
• macierz korelacji
• współczynnik korelacji rang
• przegląd zagadnień z zakresu statystyki