Wykładnicza nierówność Czebyszewa

Wykładnicza nierówność Czebyszewa jest nierównością używaną w rachunku prawdopodobieństwa, która wynika bezpośrednio z Nierówności Czebyszewa.

Twierdzenie

Dla każdej zmiennej losowej $\,X$ o wartości oczekiwanej $\,E(X)$, jeśli $\, E(e^{pX}) < \infty$ dla pewnego $\, p>0$, to dla $\, \lambda \in \left[0,p\right]$

$P\left(X \geqslant \varepsilon\right) \leqslant \frac{E(e^{\lambda{X}})}{e^{\lambda{}\varepsilon}}$

dla każdego $\varepsilon > 0$.

Dowód

Wykładnicza nierówność Czebyszewa wynika bezpośrednio z podstawienia w Nierówności Czebyszewa $\, e^{\lambda{X}}$ zamiast $\,X$ oraz $\, e^{\lambda{\varepsilon}}$ zamiast $\, \varepsilon$, której to nierówności dowód jest podany w dotyczącym jej haśle.

Jest tak ponieważ $\,e^{\lambda{X}} \geqslant e^{\lambda{\varepsilon}} \iff X \geqslant \varepsilon$

Zobacz też

• Nierówność Czebyszewa
• Nierówność Czebyszewa-Bienayme
• Nierówność Markowa