Wymiar Hausdorffa

Wymiar Hausdorffa – liczbowy niezmiennik metryczny; nazwa pojęcia pochodzi od nazwiska Feliksa Hausdorffa.

Definicja

Niech s  > 0. Niech $\;(X, d)$ będzie przestrzenią metryczną. Dla dowolnego podzbioru $E \subseteq X$ określamy miarę zewnętrzną

$H^s_\delta(E) = \inf\left\{\sum_{i=1}^\infty \operatorname{diam}(A_i)^s\right\}$,

gdzie infimum bierzemy po rodzinach zbiorów $\,\{A_i\}_i$, które pokrywają $E\,$ i zawierają zbiory o średnicy mniejszej lub równej $\,\delta$.

Gdy $\delta\,$ maleje, to $H^s_\delta(E)$ rośnie. Zatem poniższa granica (skończona lub nie) istnieje i jest nazywana miarą Hausdorffa (dla wykładnika s):

$H^s(E) = \lim_{\delta \to 0}~H^s_\delta(E)$.

Łatwo sprawdzić, że:

• $H^s(E) = 0 \implies H^t(E) = 0$     dla każdego $\,t>s$;
• $H^s(E) = \infty \implies H^t(E) = \infty$     dla każdego $\,t<s$.

Wymiar Hausdorffa określa się wówczas jako

$\operatorname{dim}_H(E) = \inf \{s\colon H^s(E) = 0\} = \sup \{s\colon H^s(E) = \infty\}$.

Wymiar Hausdorffa a wymiar topologiczny

Wymiar Hausdorffa metrycznej przestrzeni ośrodkowej jest zawsze niemniejszy od jej wymiaru topologicznego. Edward Marczewski (1937)   udowodnił, że każda ośrodkowa przestrzeń metryczna dopuszcza metrykę indukującą jej topologię i taką, że wymiar Hausdorffa przy tej metryce jest równy wymiarowi topologicznemu.

Podobne twierdzenie, ale tylko dla przestrzeni metrycznych zwartych, dowiedli wspólnie Lew Pontriagin i Lew Sznirelman (1932)   wykorzystując zamiast miary Hausdorffa logarytm minimalnych liczności ε-pokryć, podzielony przez log(ε).

Wynik Marczewskiego (oraz Eilenberga) przedstawiony jest w klasycznej monografii Witolda Hurewicza i Henry'ego Wallmana ; patrz też rosyjskie tłumaczenie , gdzie znajduje się dodatek ze wspomnianą pracą Pontriagina-Sznirelmana.

Praktyczna metoda wyznaczania

Dla większości zbiorów fraktalnych w przestrzeni metrycznej, np. takich jak Kostka Mengera, wyznaczenie wymiaru Hausdorffa sprowadza się do zbadania zbieżności szeregu geometrycznego utworzonego z miar jego zmniejszanych elementów z potęgą wymiaru z każdej rekurencji tzn. kiedy suma ta staje się nieskończona. Suma ta jest szczególnym wyborem z rodziny zbiorów z definicji $H^s_\delta(E)$. Wymiar Hausdorffa jest równy największej wartości potęgi dla której powstały ciąg geometryczny oraz szereg stają się rozbieżne.

Przykład: dywan Sierpińskiego:

W każdej rekurencji usuwa się $8^n$ kwadratów o boku $1/ 3^{n+1}$. Suma szeregu jest wtedy dana przez

$\frac{}{}Z(\gamma)= \left(\frac{1}{3}\right)^{\gamma}+8 \left(\frac{1}{3^2}\right)^{\gamma}+ 8^2 \left(\frac{1}{3^3}\right)^{\gamma}+8^3 \left(\frac{1}{3^4}\right)^{\gamma}+...$

co jest sumą wyrazów ciągu geometrycznego o ilorazie

$q=\frac{8}{3^{\gamma}}$

Ciąg ten i suma stają się rozbieżne gdy $q=1$ tzn. wymiar Haussdorfa dywanu Sierpińskiego wynosi

$\gamma=\frac{\log(8)}{\log(3)}\approx 1,8928$

Dla kostki Mengera będzie to więc $\log(20)/\log(3)$, dla piramidy Sierpińskiego $\log(4)/\log(2)=2$, a dla zbioru Cantora $\log(2)/\log(3)$.