Wzór Panjera

Wzór Panjera – w matematyce ubezpieczeniowej, wzór rekurencyjny wprowadzony w 1981 roku przez Harry'ego Panjera (a następnie uogólniony przez Bjørna Sundta i Williama S. Jewella), służący do dokładnego wyznaczania rozkładu łącznej wartości szkód w modelu ryzyka łącznego (zakładającego iż łączna wartość szkód jest sumą szkód będących parami niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie prawdopodobieństwa oraz których liczba jest zmienną losową niezależną względem każdej ze szkód).

Wzór Panjera

Oznaczenia

• $\mathbb{P}(A)$ – prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia $A$
• $f_{j}:=\mathbb{P}(Y=j)$ dla j=0,1,2...
• $p_{n}:=\mathbb{P}(N=n)$ dla n=0,1,2...
• $X_{n}:=Y_{1}+\ldots+Y_{n}$ dla nielosowej liczby składników $n$.

Założenia

• $X=0$ w przypadku, gdy $N=0$,
• $Y_{1},Y_{2},\ldots$ są zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie prawdopodobieństwa
• $Y_{1},Y_{2},\ldots$ są parami niezależne
• $Y_{1},Y_{2},\ldots$ są niezależne od $N$.
• $X=Y_{1}+\ldots+Y_{N}$
• $p_{n}=p_{n-1}\big(a+\frac{b}{n}\big)$ dla dostatecznie dużych $n$, tzn. dla $n>n_0$, gdzie $n_0$ jest pewną liczbą naturalną.

Wzór rekurencyjny

1. $\mathbb{P}(X=0)= \begin{cases} p_{0} &f_{0}=0 \\ \sum_{n=0}^{\infty}p_{n}(f_{0})^{n} &f_{0}>0 \end{cases}$
2. $\mathbb{P}(X=k)=\frac{1}{1-af_{0}} \Bigg( \sum_{j=1}^{k}\Big(a+b\frac{j}{k}\Big)f_{j}\mathbb{P}(X=k-j) + \sum_{n=1}^{m}\bigg(p_{n}-\Big(a+\frac{b}{n}\Big)p_{n-1}\bigg)\cdot \mathbb{P}(X_{n}=k) \Bigg)$

Klasy rozkładów spełniających założenia wzoru

Klasa rozkładów liczby szkód, spełniających założenia wzoru Panjera z $m=0$ nazywana jest klasą Panjera, a z $m>0$ klasą Sundta-Jewella. Zgodnie z założeniami pierwszych $m$ prawdopodobieństw w rozkładach spełniających założenia wzoru Panjera może być dowolne. Rozkłady, dla których $m=0$, to (w nawiasie podano zakresy wartości występujących w założeniu parametrów $a$ i $b$):

• rozkład Poissona (gdy $a=0$, $b>0$)
• rozkład dwumianowy (gdy $a<0$, $b=-a(l+1)$, $l=1,2,3,\ldots$)
• rozkład ujemny dwumianowy (gdy $a\in(0,1)$, $b>-a$)
• rozkład zdegenerowany $p_{0}=1$ (gdy $b=-a$)

Zastosowania

Wzór Panjera określa rozkład prawdopodobieństwa w przypadku dyskretnym. Możliwe jest jednak zastosowanie wzoru w przypadku ciągłego rozkładu prawdopodobieństwa pojedynczej szkody. Niezbędna jest jednak wówczas dyskretyzacja takiego rozkładu.

Bibliografia

• Newton L. Bowers, Hans U. Gerber, J.C. Hickman, D.A. Jones, C.J. Nesbit: Actuarial mathematics. Itasca, Ill.: Society of Actuaries, 1986. ISBN 0-938959-10-7.  (ang.)
• Wojciech Otto: Ubezpieczenia majątkowe. Wyd. 1. Cz. I: Teoria ryzyka. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 2004, seria: Matematyka w ubezpieczeniach. ISBN 83-204-2887-4.  (pol.)