Wzór Stirlinga

Wzór Stirlinga - wzór pozwalający obliczyć w przybliżeniu wartość silni.

$n!\approx \bigg(\frac{n}{e}\bigg)^n\sqrt{2\pi n}$

(1)

Wzór ten daje dobre przybliżenie dla dużych liczb $n$.

Formalnie: $\lim_{n \rightarrow \infty} {n!\over \sqrt{2 \pi n} \; \left(\frac{n}{e}\right)^{n} } = 1$

Wyprowadzenie

Wzór, wraz z precyzyjnym oszacowaniem błędu, może być wyprowadzony następująco. Zamiast przybliżać n!, weźmy logarytm naturalny

$\ln n! = \ln 1 + \ln 2 + \ldots + \ln n$

Następnie, aby znaleźć przybliżenie wartości ln(n!), stosujemy wzór Eulera-Maclaurina podstawiając f(x)= ln(x):

$\ln (n-1)! = n \ln n - n + 1 - \frac{\ln n}{2} + \sum_{k=2}^{m} \frac{B_k {(-1)}^k}{k(k-1)}\,\cdot\,\left( \frac{1}{n^{k-1}} - 1 \right) + R$

gdzie B_k to liczba Bernoulliego a R jest resztą wzoru Eulera-Maclaurina. Dalej z obu stron bierzemy granicę,

$\lim_{n \to \infty} \left( \ln n! - n \ln n + n - \frac{\ln n}{2} \right) = 1 + \sum_{k=2}^{m} \frac{B_k {(-1)}^k}{k(k-1)} + \lim_{n \to \infty} R$

Niech y równa się powyższej granicy; łącząc powyższe dwa wzory dostajemy wzór przybliżony w postaci logarytmicznej:

$\ln n! = \left(n+\frac{1}{2}\right) \ln n - n + y + \sum_{k=2}^{m} \frac{B_k {(-1)}^k}{k(k-1)n^{k-1}} + O\left(\frac{1}{n^m}\right)$

gdzie O(·) to Notacja dużego O.

Niech obie strony równania będą wykładnikami funkcji wykładniczej oraz wybierzmy jakąś konkretną dodatnią liczbę całkowitą, np. 1. Dostajemy wyrażenie z nieznanym wyrazem e^y.

$n! = e^y \sqrt{n}~\left( \frac{n}{e} \right)^n \left( 1 + O\left(\frac{1}{n}\right) \right)$

Nieznany wyraz e^y może być wyznaczony poprzez wzięcie granicy po obu stronach przy n dążącym do nieskończoności oraz używając iloczynu Wallisa. Wartością e^y jest $\sqrt{2 \pi}$. Otrzymujemy wzór Stirlinga:

$n! = \sqrt{2 \pi n}~\left( \frac{n}{e} \right)^n \left( 1 + O\left(\frac{1}{n}\right) \right)$

Wzór może być również wyprowadzony poprzez wielokrotne całkowanie przez części. Wyraz wiodący może być znaleziony poprzez metodę największego spadku

Szybkość zbieżności i oszacowanie błędu

Dokładniej,

$n! = \sqrt{2 \pi n} \; \left(\frac{n}{e}\right)^{n}e^{\lambda_n}$

(2)

przy

$\frac{1}{12n+1} < \lambda_n < \frac{1}{12n}.$

Przykład porównania jakości przybliżenia dla wzorów (1) (wersja popularna) oraz (2) (wersja dokładniejsza, λ = (12 n)^-1). Dla n = 140 n! jest wyznaczona z dokładnością do 9 cyfr znaczących

Tak naprawdę, wzór Stirlinga jest pierwszym przybliżeniem następującego szeregu (szeregu Stirlinga):

$n!=\sqrt{2\pi n}\left({n\over e}\right)^n \left( 1 +{1\over12n} +{1\over288n^2} -{139\over51840n^3} -{571\over2488320n^4} + \cdots \right)$

Przy $n \to \infty$, błąd w seriach o skończonej długości jest co najwyżej równy pierwszemu pominiętemu wyrazowi. Jest to przykład rozwinięcia asymptotycznego.

rozwinięcie asymptotyczne logarytmu również jest nazywana szeregiem Stirlinga:

$\ln n!=n\ln n - n + {1\over 2}\ln(2\pi n) +{1\over12n} -{1\over360n^3} +{1\over1260n^5} -{1\over 1680n^7} +\cdots$

W tym przypadku wiadomo, że błąd wskutek pominięcia dalszych wyrazów jest zawsze tego samego znaku i tego samego rzędu, co pierwszy pominięty wyraz.

Wzór Stirlinga dla funkcji Gamma

Wzór Stirlinga ma również zastosowanie do funkcji Gamma (zobacz funkcje specjalne)

$\Gamma(z+1) = \Pi(z) = z!$

zdefiniowanej dla wszystkich liczb zespolonych innych niż liczby całkowite niedodatnie. Jeśli $\Re(z) > 0$ to

$\ln \Gamma (z) = \left(z-\frac12\right)\ln z -z + \frac{\ln {2 \pi}}{2} + 2 \int\limits_0^\infty \frac{\arctan \frac{t}{z}}{\exp(2 \pi t)-1} dt$

Powtarzane całkowanie przez części daje nam rozwinięcie asymptotyczne

$\ln \Gamma (z) = \left(z-\frac12\right)\ln z -z + \frac{\ln {2 \pi}}{2} + \sum_{n=1}^\infty \frac{B_{2n}}{2n(2n-1)z^{2n-1}}$

gdzie B_n jest n-tą liczbą Bernoulliego. Wzór jest poprawny dla modułu z z $|\arg z| < \pi - \epsilon$, gdzie ε jest dodatni. Błąd przybliżenia: $O(z^{-m - 1/2})$ dla użytych m wyrazów.

Zbieżna postać wzoru Stirlinga

Wyznaczenie zbieżnej postaci wzoru Stirlinga wymaga oszacowania

$\int\limits_0^\infty \frac{2\arctan \frac{t}{z}}{\exp(2 \pi t)-1}\, dt = \ln\Gamma (z) - \left(z-\frac12\right)\ln z +z - \frac12\ln(2\pi).$

Jedną z metod jest uśrednianie zbieżnych serii odwróconych rosnących eksponent. Jeśli $z^{\overline n} = z(z+1) \cdots (z+n-1)$, wtedy

$\int\limits_0^\infty \frac{2\arctan \frac{t}{z}}{\exp(2 \pi t)-1} \, dt = \sum_{n =1}^\infty \frac{c_n}{(z+1)^{\overline n}}$

gdzie

$n c_n = \int\limits_0^1 x^{\overline n}\left(x-\frac12\right)\, dx.$

Z tego otrzymujemy następującą postać ww. wzoru

$\ln \Gamma (z) = (z-\frac12)\ln z -z + \frac{\ln {2 \pi}}{2} +$

$\frac{1}{12(z+1)} + \frac{1}{12(z+1)(z+2)} + \frac{29}{60(z+1)(z+2)(z+3)} + \cdots$

który zbiega gdy $\Re(z)>0$.

Historia

Wzór został odkryty przez Abrahama de Moivre w postaci

$n!\sim c\cdot n^{n+1/2} e^{-n},\quad c=\operatorname{const}$

Wkładem Stirlinga było pokazanie, że stałą $c$ jest $\sqrt{2\pi}$. Bardziej precyzyjną wersję podał Jacques Binet.

Przybliżenie Stirlinga "pierwszego rzędu", $n!=n^n$ , zostało użyte przez Maxa Plancka w jego artykule z roku 1901, w którym wyprowadził on wzór na promieniowanie ciała doskonale czarnego. Przybliżenie to powiązało zaproponowaną przez Plancka koncepcję elementów energii z wzorem na promieniowanie ciała doskonale czarnego. Przybliżenie było później często używane w teorii kwantowej, na przykład przez Louis de Broglie'a . Dla bardzo dużych n wykres przybliżenia "pierwszego rzędu" wzoru Stirlinga, zrobiony w skali logarytmicznej, jest prawie równoległy do linii , otrzymanej z koncepcji odseparowanych od siebie kwantów światła.

Jednak entropia układu, obliczona przy zastosowaniu przybliżenia Stirlinga "pierwszego rzędu", jest inna, przy czym stosunek tych wielkości staje się silnie nieliniowy dla małych n. Można tylko spekulować, że podobny wpływ na entropię systemu mogłoby mieć wprowadzenie do opisu zasady nieoznaczoności, spinu fotonu i innych wielkości fizycznych nieznanych w czasie, gdy powstawała stara teoria kwantowa. Niestety, do chwili obecnej brak jest doświadczalnej weryfikacji związków między użytym przez Plancka przybliżeniem Stirlinga "pierwszego rzędu" i najnowszymi teoriami fizycznymi.

Literatura

• Abromowitz, M. and Stegun, I., Handbook of Mathematical Functions, http://www.math.hkbu.edu.hk/support/aands/toc.htm
• Paris, R. B., and Kaminsky, D., Asymptotics and the Mellin-Barnes Integrals, Cambridge University Press, 2001
• Whittaker, E. T., and Watson, G. N., A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press, 1963. ISBN 0-521-58807-3