Wzory skróconego mnożenia

Graficzne uzasadnienie wzoru na kwadrat sumy

Wzory skróconego mnożenia – wspólna nazwa wzorów rozwijających wyrażenia postaci $(a\pm b)^n,\ (a\pm b\pm\ldots)^n$ oraz $a^n\pm b^n$ gdzie $n\;$ jest liczbą naturalną.

Wzory z zastosowaniem kwadratu liczby

Kwadrat sumy:

$(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2\;$

Kwadrat różnicy:

$(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2\;$

Wzory te mają również wersje dla większej liczby składników, np. dla trzech:

$(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc\;$

$(a+b-c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab - 2ac - 2bc\;$

$(a-b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 - 2ab + 2ac - 2bc\;$

$(a-b-c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2ac + 2bc\;$

Ogólnie można ten wzór stosować dla kwadratu dowolnej liczby składników. Różnice należy przedstawić w postaci sumy składników o przeciwnym znaku, np. $(a-b-c+d)^2=(a+(-b)+(-c)+d)^2$ Po prawej stronie wzoru skróconego mnożenia wystąpią wtedy kwadraty każdego ze składników w nawiasie, oraz podwojone iloczyny każdej pary tych składników.

Dla dowolnej liczby składników: $\left(\sum\limits_{i=1}^{k}a_i\right)^2 =\sum\limits_{i=1}^{k}\sum\limits_{j=1}^{k} a_i a_j$

Wzory te mają także uogólnienie w przestrzeniach unitarnych, zwane tożsamością polaryzacyjną.

Różnica kwadratów:

$a^2-b^2 = (a+b)(a-b)\;$

Analogicznie zbudowana suma $a^2+b^2\;$ nie rozkłada się na wielomiany rzeczywiste, można jednak rozłożyć ją na wielomiany zespolone:

$a^2+b^2 = (a+bi)(a-bi)\;$, gdzie $i\;$ to jednostka urojona.

Inne wykładniki

Graficzne uzasadnienie wzoru na sześcian sumy

Sześcian sumy:

$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3\;$

Sześcian różnicy:

$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2 b + 3ab^2 - b^3\;$

Suma sześcianów:

$a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)\;$

Różnica sześcianów:

$a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)\;$

Tożsamość Sophie Germain:

$a^4+4b^4 = (a^2+2ab+2b^2)(a^2-2ab+2b^2)\;$

Różnica czwartych potęg:

$a^4-b^4 = (a-b)(a^3+a^2 b+ab^2+b^3)\;$

Suma piątych potęg:

$a^5+b^5 = (a+b)(a^4-a^3 b+a^2 b^2-ab^3+b^4)\;$

Różnica piątych potęg:

$a^5-b^5 = (a-b)(a^4+a^3 b+a^2 b^2+ab^3+b^4)\;$

Wzory ogólne

$(a+b)^n=\sum_{k=0}^n{n \choose k}a^{n-k}b^k\;$ (dwumian Newtona)

$(a-b)^n=\sum_{k=0}^n(-1)^k{n \choose k}a^{n-k}b^k\;$

$\left(\sum\limits_{i=1}^{k}a_i\right)^n = \sum\limits_{m_1,\cdots , m_k=0}^n{n\choose m_1,\cdots , m_k}\prod\limits_{i=1}^{k}a_i^{m_i}$ , gdzie ${n\choose m_1,\cdots , m_k} = \frac{n!}{\prod\limits_{i=1}^{k}m_i!}$

$a^n - b^n = (a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 + \ldots + ab^{n-2} + b^{n-1})\;$

$a^{2n+1} + b^{2n+1} = (a + b) (a^{2n} - a^{2n-1}b + a^{2n-2}b^2 - \ldots - ab^{2n-1} + b^{2n})\;$

Powyższe wzory zachodzą we wszystkich pierścieniach przemiennych.