Zanurzenie (matematyka)

Zanurzenie – w matematyce oznacza różnowartościowe odwzorowanie $f: A \rightarrow B$ jednego obiektu A w inny B z zachowaniem własności obiektu zanurzanego. To, o jakie własności chodzi, zależy od rozważanej teorii. Istnienie takiego zanurzenia implikuje istnienie w B podzbioru "identycznego" z A. Zanurzenie nazywa się też często włożeniem.

Teoria kategorii

W teorii kategorii odpowiednikiem zanurzenia jest monomorfizm. W zależności od rozpatrywanej kategorii, np. Set, Top, Gr, Vect_K, monomorfizmami są odwzorowania różnowartościowe, homeomorfizmy, homomorfizmy różnowartościowe, przekształcenia liniowe różnowartościowe.

Teoria mnogości

W teorii zbiorów zanurzeniem zbioru $A\;$ w zbiór $B\;$ jest funkcja różnowartościowa $f: A \hookrightarrow B\;$. Zbiór $A\;$ można wtedy utożsamić ze zbiorem

$f(A)\subset B$.

Przykład

Można udowodnić, że jeśli dla dwóch zbiorów $A\;$ i $B\;$ istnieją zanurzenia

$f: A \hookrightarrow B\;$ i $g: B \hookrightarrow A\;$,

to istnieje taka funkcja różnowartościowa $h: B \rightarrow A$, że

$h(B) = A\,$.

Twierdzenie to jest równoważne twierdzeniu Cantora-Bernsteina.

Dowód. Można założyć, że $A\;$ jest podzbiorem $B\;$, a funkcja $f = id_A\;$ realizuje to zawieranie. Niech $Z_n\;$ będzie ciągiem określonym rekurencyjnie:

$Z_0 = B \setminus A, Z_{n + 1} = g(Z_n)\, \text{dla} \, n = 0, 1, 2, \ldots$

Niech $Z = \bigcup \limits_{n = 0}^{\infty} Z_n$. Wtedy $g(Z) = \bigcup \limits_{n = 1}^{\infty} Z_n \subset A$ oraz $B \setminus Z = B \setminus (B \setminus A \cup g(Z)) = A \setminus g(Z)$.

Funkcja

$h(x) = \begin{cases} g(x) & \text{dla } x \in Z\\ x & \text{dla } x \in B \setminus Z \end{cases}$

jest bijekcją, bo

$Z \cap (B \setminus Z) = \varnothing$,

$h(Z) \cap h(B \setminus Z) = g(Z) \cap (A \setminus g(Z)) = \varnothing$,

skąd wynika, że $h\;$ jest injekcją (czyli odwzorowaniem różnowartościowym) oraz

$h(Z) \cup h(B \setminus Z) = g(Z) \cup (A \setminus g(Z)) = A$

skąd wynika, że $h\;$ jest surjekcją (czyli odwzorowaniem "na").

Topologia

Topologia ogólna

W topologii ogólnej zanurzeniem przestrzeni $A$ w przestrzeń $B$ jest homeomorfizm $f: A \hookrightarrow B$.

Przykłady

Krzywa zamknięta zwyczajna (łuk zamknięty) w przestrzeni topologicznej $\mathcal T$ to zbiór homeomorficzny z okręgiem, czyli obraz okręgu w przestrzeni $\mathcal T$ w pewnym zanurzeniu.

W szczególności można badać łuki zamknięte na płaszczyźnie. Mogą one być regularne, jak płatki śniegu.

• 

  Łuk zamknięty (Płatek Kocha - iteracja 2)

• 

  Łuk zamknięty (Płatek Kocha - iteracja 3)

• 

  Łuk zamknięty (Płatek Kocha - iteracja 5)

Mogą także przyjmować formy nieregularne.

Jest prawdziwe twierdzenie Jordana, które mówi, że każdy łuk zamknięty na płaszczyźnie rozcina ją na dwa obszary i jest ich wspólnym ograniczeniem.

Teoria węzłów zajmuje się zanurzeniami okręgu w przestrzeń trójwymiarową.

Tablica wszystkich węzłów pierwszych z co najwyżej siedmioma punktami skrzyżowania

Topologia różniczkowa

W topologii różniczkowej zanurzeniem przestrzeni $A$ w przestrzeń $B$ jest dyfeomorfizm $f: A \hookrightarrow B$.

Przykłady

Jedno z ważnych twierdzeń teorii rozmaitości gładkich mówi, że:

Zwarta k-wymiarowa rozmaitość gładka klasy gładkości m > 1 (tzn. m razy różniczkowalna) może być regularnie i dyfeomorficznie zanurzona w przestrzeń euklidesową $E^{2k + 1}$ o wymiarze 2k + 1. Klasa gładkości dyfeomorfizmu jest równa m.

W szczególności butelkę Kleina można dyfeomorficznie zanurzyć w przestrzeń euklidesową 5-wymiarową.

Topologia metryczna

Zanurzeniem przestrzeni metrycznej $A$ w przestrzeń metryczną $B$ jest izometria $f: A \hookrightarrow B$.

Algebra

W algebrze zanurzeniami są homomorfizmy różnowartościowe struktur algebraicznych.

Teoria grup

Homomorfizm $h: H \rightarrow G\;$ grupy multyplikatywnej $H\;$ w grupę multyplikatywną $G\;$ jest zanurzeniem, jeśli $ker (h) = \{1\}\;$.

Przykłady

• Grupę $SO_2(\mathbb{R})$ obrotów płaszczyzny dokoła punktu (np. początku układu współrzędnych) można zanurzyć w grupę multyplikatywną ciała liczb zespolonych $\mathbb{C}^{*}$

$\exp: R^{\alpha}_O \mapsto e^{i\alpha}$,

gdzie $R^{\alpha}_O = \begin{bmatrix} \cos{\alpha} & -\sin{\alpha}\\ \sin{\alpha} & \cos{\alpha} \end{bmatrix} \in SO_2(\mathbb{R})$ dla kąta $\alpha \in \langle 0; 2\pi)$.

Grupę $SO_2(\mathbb{R})$ można zatem utożsamić z okręgiem jednostkowym na płaszczyźnie zespolonej $\{e^{i\alpha}: \alpha \in \langle 0; 2\pi)\}$

Teoria ciał

• Każdy homomorfizm $\varphi: K \to P$ ciała $K\;$ w pierścień przemienny niezerowy $P\;$ jest zanurzeniem (jego obraz jest izomorficzny z ciałem $K\;$).
• W każdym ciele jest zanurzone albo ciało liczb wymiernych $\mathbb{Q}$, albo ciało p-elementowe $\mathbb{F}_p$, gdzie p jest liczbą pierwszą. W pierwszym wypadku ciało ma charakterystykę 0, a w drugim - charakterystykę p.
• Każde ciało jest zanurzone w pewnym ciele algebraicznie domkniętym.

Teoria pierścieni

• Każdy pierścień bez dzielników zera można zanurzyć w jego pierścień ułamków.

Teoria modułów

• Niech P będzie pierścieniem przemiennym z jedynką. Podzbiorem multyplikatywnie zamkniętym S w P jest zbiór zawierający 1 i zamknięty względem mnożenia. Niech M będzie modułem nad pierścieniem P. Na iloczynie kartezjańskim M × S można określić relację równoważności ≡

(m, s) ≡ (m₁, s₁) ⇔ dla pewnego t ∈ S zachodzi równość t (m s₁ - m₁ s) = 0.

Klasy równoważności tej relacji nazywa się ułamkami i oznacza się je m/s, a ich zbiór modułem ułamków S^-1M. Podobnie można określić pierścień ułamków S^-1P. Zbiór S^-1M jest modułem nad pierścieniem S^-1P. Wtedy jeśli

$f: N \hookrightarrow M$ jest zanurzeniem modułu N w moduł M,

to odwzorowanie

$S^{-1}f(n/s) = f(n)/s\;$

jest zanurzeniem S ^-1N i S ^-1M.

Bibliografia

1. Zbigniew Semadeni, Antoni Wiweger: Wstęp do teorii kategorii i funktorów. Wyd. 2. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 45. 
2. Jiri Adámek, Horst Herrlich, George E. Strecker: Abstract and Concrete Categories (ang.). 2005-01-18. [dostęp 2011-08-26].
3. Kuratowski K., Mostowski A.: Teoria mnogości. Wyd. 2. T. 27. Warszawa: PWN, 1966, seria: Monografie Matematyczne. 
4. Kuratowski K.: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Wyd. 2. T. 9. Warszawa: PWN, 1962, seria: Biblioteka Matematyczna. 
5. Понтрягин Л. С.: Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий. Wyd. 2. Москва: Наука, 1976. 
6. Browkin J.: Teoria ciał. Wyd. 1. T. 49. Warszawa: PWN, 1977, seria: Biblioteka Matematyczna. 
7. Lang S.: Algebra. Warszawa: PWN, 1973. 
8. Balcerzyk S., Józefiak T.: Pierścienie przemienne. Wyd. 1. T. 58. Warszawa: PWN, 1985, seria: Biblioteka Matematyczna. ISBN 83-01-04874-3. 
9. Атья М., Макдональд И.: Введеие в коммутативную алгебру. Москва: Мир, 1972.  (ros.)