Zasadnicze twierdzenie algebry

Zasadnicze (podstawowe) twierdzenie algebry – twierdzenie algebry i analizy zespolonej mówiące, że każdy wielomian zespolony stopnia dodatniego ma pierwiastek (w ciele liczb zespolonych). Innymi słowy, ciało liczb zespolonych jest algebraicznie domknięte. Konsekwencją zasadniczego twierdzenia algebry i twierdzenia Bézout jest następujące twierdzenie (często zwane również Zasadniczym twierdzeniem algebry):

Twierdzenie

Stopień niezerowego wielomianu zespolonego jest równy sumie krotności jego zespolonych pierwiastków. Jest to równoważne temu, iż każdy wielomian zespolony stopnia $n>0$ można przedstawić w postaci iloczynu

$a(z-z_1)(z-z_2) \dots (z-z_n)$

dla pewnych $a, z_1, \ldots, z_n\in \mathbb{C}$.

Uwaga

Inaczej niż w przypadku zespolonym wygląda sprawa wielomianów rzeczywistych i ich pierwiastków rzeczywistych – wielomian stopnia $n$ może nie mieć wcale pierwiastków, a jeśli ma, to jest ich co najwyżej $n$. Natomiast każdy wielomian rzeczywisty stopnia nieparzystego ma przynajmniej jeden pierwiastek rzeczywisty (wynika to z faktu, że granice niewłaściwe wielomianu rzeczywistego stopnia nieparzystego w $\pm\infty$ są różnych znaków, a także z faktu, że wielomian - jako funkcja ciągła, ma własność Darboux - a zatem musi przyjąć wartość pośrednią 0).

Historia

Twierdzenie zostało udowodnione w 1799 r. przez Gaussa, który podał później kilkanaście innych dowodów tego twierdzenia. Przed Gaussem co najmniej sześciu innych matematyków podało dowody Zasadniczego twierdzenia algebry. W kolejności ukazywania się, dowody były podawane przez d'Alemberta, Eulera, Foncenexa, Lagrange'a, Laplace'a i Wooda. Były one jednak niekompletne, lub zawierały luki i dlatego nie zostały powszechnie uznane.

Nazwa

Określenie „zasadnicze (lub podstawowe) twierdzenie algebry” wydaje się dziś nieco przesadzone, powstało ono jednak w czasach, gdy problem rozwiązalności równań algebraicznych był jednym z głównych tematów zainteresowań matematyków.

O dowodach

Dowody Zasadniczego twierdzenia algebry można dzielić na "algebraiczne" i "analityczne" (tzn. odwołujące się do wyników i pojęć analizy matematycznej, szczególnie do ciągłości). Z reguły "bardziej algebraiczne" dowody są dłuższe i bardziej skomplikowane. Oprócz tego, nawet w "najbardziej algebraicznych" dowodach nie potrafimy uniknąć stosowania niektórych twierdzeń analizy matematycznej, a więc dowód nie będzie "zupełnie algebraiczny". Twierdzenia analizy zespolonej takie, jak twierdzenie Liouville'a czy twierdzenie Rouche, znacznie upraszczają dowód Zasadniczego twierdzenia algebry.

W poniższych dowodach będą stosowane następujące znane fakty:

• Funkcje wielomianowe są ciągłe (w $\mathbb C$);
• Twierdzenie Weierstrassa: Funkcja określona na przestrzeni zwartej o wartościach rzeczywistych osiąga swoje kresy, dokładniej jeśli $X$ jest przestrzenią zwartą, a $f\colon X\to \mathbb{C}$ jest ciągła, to istnieją takie punkty $a,b\in X$, że

$f(a)=\min\{f(x)\colon\, x\in X\}$ oraz $f(b)=\max\{f(x)\colon\, x\in X\}$.

• Domknięte i ograniczone podzbiory płaszczyzny zespolonej $\mathbb{C}$ są zwarte.

Dowód oparty na twierdzeniu Liouville'a

• Twierdzenie Liouville'a: Ograniczona funkcja całkowita jest stała. Innymi słowy: jeżeli funkcja zespolona jest analityczna na całej płaszczyźnie zespolonej i nie jest stała, to jest ona nieograniczona.

Niech $f$ będzie dowolnym wielomianem zespolonym stopnia dodatniego, tzn. wielomian $f$ nie jest funkcją stałą. Wiadomo, że wielomiany są funkcjami analitycznymi na całej płaszczyźnie zespolonej. Z twierdzenia Liouville'a wynika, że funkcja $f$ jest nieograniczona. Wówczas dla dowolnego $M>0$ istnieje takie $R>0$, że w zewnętrzu okręgu $|z|=R$ (inaczej mówiąc, dla $|z|>R$) spełniona jest nierówność $|f(z)|>M$. Niech $M$ i $R$ będą ustalonymi liczbami o tych własnościach.

Przypuśćmy, że wielomian $f$ nie ma żadnego pierwiastka zespolonego, tzn. $f(z)\neq 0$ dla każdej liczby zespolonej $z$. Wówczas funkcja $g$ dana wzorem

$g(z)=\frac{1}{f(z)}$

jest określona na całej płaszczyźnie, a ponadto analityczna. Wówczas dla $|z|>R$:

$|g(z)|<\frac{1}{M}$,

ponieważ $|f(z)|>M$ dla $|z|>R$.

Należy teraz rozpatrzeć, co dzieje się z wartościami funkcji $f$ w kole $|z|\leqslant R$. Rozważmy funkcję $z\mapsto |f(z)|$ o wartościach rzeczywistych. Ponieważ koło domknięte $|z|\leqslant R$ jest zbiorem zwartym, więc istnieje taki jego element $z_0$, że

$|f(z_0)|=\min\{|f(z)|\colon |z|\leqslant R\}>0$.

Wynika stąd, że

$|g(z)|\leqslant\frac{1}{|f(z_0)|}$.

Możemy, tym samym, oszacować funkcję $g$ na całej płaszczyźnie:

$|g(z)|\leqslant\max\left\{\frac{1}{M},\frac{1}{|f(z_0)|}\right\}$.

Wówczas z twierdzenia Liouville'a wynika, że $g$ jest stała, ale wtedy $f(z)=\frac{1}{g(z)}$ też jest stała, co jest sprzeczne z przypuszczeniem, a zatem wielomian $f$ ma pierwiastek zespolony.

Przykład innego dowodu

Wykażemy, że dla każdego wielomianu zespolonego $v$ istnieje liczba zespolona $x_0$, że $|v(x_0)|=0$, gdzie

$v(x)=a_0 + a_1x + \dots + a_nx^n,\; a_0 \ne 0,\; a_n \ne 0,\; n \geqslant 1$.

Lemat 1

Jeśli $v$ jest niezerowym wielomianem o współczynnikach zespolonych, to

$\exist_{r>0}\;\forall_{x \in \mathbb C}\; |x|>r \implies |v(x)|>|v(0)|=|a_0|$

Dowód

Oznaczmy

$v(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\ldots+a_nx^n$.

Wówczas

$|v(x)| = |x|^n |a_n + a_{n-1}(\tfrac{1}{x}) + \dots + a_1(\tfrac{1}{x})^{n-1} + a_0(\tfrac{1}{x})^n| = |x|^n|a_n + w(x)|$,

gdzie $w(y) = a_{n-1}y + \dots + a_0y^n$. Z ciągłości funkcji wielomianowej $w$ oraz faktu, że $w(0)=0$

$\exist_{R>0}\; |y|<R \implies |w(y)| < \frac{|a_n|}{2}$.

A więc, jeśli $\tfrac{1}{|y|} > \tfrac{1}{R}$, to

$\left|w\left(\tfrac{1}{y}\right)\right|>\tfrac{|a_n|}{2}$.

Podstawiając $y = \tfrac{1}{x}$, dostajemy $|w(x)|>\tfrac{|a_n|}{2}$ dla $|x|>\tfrac{1}{R}$.

Ostatecznie:

$|v(x)| = |x|^n|a_n + a_{n-1}(\tfrac{1}{x}) + \dots + a_1(\tfrac{1}{x})^{n-1} + a_0(\tfrac{1}{x})^n| \geqslant |x|^n(|a_n| - |a_{n-1}(\tfrac{1}{x}) + \dots + a_1(\tfrac{1}{x})^{n-1} + a_0(\tfrac{1}{x})^n|) \geqslant \frac{|a_n|}{2}|x|^n$,

oraz $\frac{|a_n|}{2}|x|^n > |a_0|$, gdy $|x| > \sqrt[n]{\tfrac{2|a_0|}{|a_n|}}$, czyli rzeczywiście istnieje takie $r$, że teza lematu jest spełniona, mianowicie

$r = \max\left\{\frac{1}{R}, \sqrt[n]{\tfrac{2|a_0|}{|a_n|}}\right\}$.

Lemat Cauchy'ego

Dla każdego wielomianu

$v(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\ldots+a_nx^n$

o współczynnikch zespolonych takiego, że $v(0) \ne 0$ istnieje $r>0$ takie, że minimum $|v(x)|$ jest osiągnięte w zbiorze $\{x\in \mathbb{C}\colon |x| \leqslant r \}.$

Dowód

Niech $r = \max\left\{\frac{1}{R}, \sqrt[n]{\tfrac{2|a_0|}{|a_n|}}\right\}$. Wówczas z lematu 1 wiemy, że poza kołem $\{x\in \mathbb{C}\colon |x| \leqslant r \}$ jest $|v(x)|>|a_0|$. Natomiast w związku z tym, że zbiór $\{x\in \mathbb{C}\colon |x| \leqslant r \}$ jest zbiorem zwartym, to funkcja $|v(x)|$ przyjmuje w nim minimum lokalne dla pewnego $x_0 \in \{x\in \mathbb{C}\colon |x| \leqslant r \}$ i dla tego $x_0$ zachodzi $|v(x_0)| \leqslant |a_0|$. Zatem $x_0$ jest również minimum globalnym funkcji $|v(x)|$.

Lemat 2

Niech $k \in \mathbb N,\; p \in \mathbb C[x],\; p(0) \ne 0;$ wtedy $\forall_{a \in \mathbb C\setminus\{0\}}\; \exist_{b \in \mathbb C}\; \left|a + b^kp(b)\right|<|a|.$

Dowód

Z ciągłości funkcji wielomianowej $p$:

$\exist_{\delta > 0}\; |x|<\delta \implies \left|p(x) - p(0)\right| < \tfrac{|p(0)|}{2}$

$\left|a + x^kp(x)\right| \leqslant \left|a + x^kp(0)\right| + |x|^k\left|p(x) - p(0)\right| \leqslant \left|a + x^kp(0)\right| +\frac{|x|^k\left|p(0)\right|}{2}$

Niech $b \in \mathbb C$, wówczas

$p(0)b^k = -ta$ dla $0 < t < 1$.

Dla każdego $t>0$ istnieje $b$, które spełnia powyższą równość.

$\left|a + p(0)b^k\right| = |a - ta| = (1-t)|a|$

$\frac{|p(0)||b|^k}{2} = \frac{t|a|}{2}$

Jeżeli $b$ jest takie, że $|b|<\delta$ to:

$\left|a + b^kp(b)\right| \leqslant (1-t)|a| + \tfrac{t|a|}{2} = (1 - \tfrac{t}{2})|a| < |a|$ i twierdzenie zachodzi, ale żeby było $|b|<\delta$, to musi być $|b|^k < \delta^k$, czyli:

$|p(0)||b|^k = t|a| < |p(0)||\delta|^k \implies t < \frac{|p(0)|\delta^k}{|a|}$.

Lemat d'Alemberta-Arganda

Jeżeli $v$ jest wielomianem o współczynnikach zespolonych stopnia co najmniej pierwszego oraz $v(0) = a_0 \ne 0$, a ponadto istnieje takie $x_0$, że $|v(x_0)|>0$, to istnieje $y_0 \in \mathbb C$ takie, że $|v(y_0)|<|v(x_0)|$.

Dowód

$v(x+x_0) = a_0 + a_1(x+x_0) + \dots + a_n(x+x_0)^n = a_0 + a_1x_0 + \dots + a_nx_0^n + x^kw(x) = v(x_0) + x^kw(x)$, gdzie $w(0) \ne 0$

Z lematu 2 wiemy, że istnieje takie $b\in \mathbb{C}$, że $\left|v(x_0) + b^kw(b)\right| < \left|v(x_0)\right|$, czyli $\left|v(x_0 + b)\right| < \left|v(x_0)\right|$. Zatem, przyjmując $y_0 = b + x_0$, otrzymujemy tezę.

Dowód Zasadniczego twierdzenia algebry

Z lematu Cauchy'ego i d'Alemberta-Arganda wynika dowód tezy postawionej na początku. Załóżmy bowiem, że $v \in \mathbb C[x]$ i nie istnieje takie $x \in \mathbb C$, że $\left|v(x)\right|=0$. Wówczas z lematu Cauchy'ego wiemy, że istnieje taki promień $r$, że minimum globalne $\left|v(x)\right|$ jest przyjęte w kole $\{x\colon |x| \leqslant r \}$ dla pewnego $x_0$. Ale założyliśmy, że $|v(x)|$ jest zawsze większe od $0$, a wtedy z lematu d'Alemberta-Arganda wynika, że istnieje $y_0 \in \mathbb C$ takie, że $\left|v(y_0)\right| < \left|v(x_0)\right|$, co stoi w sprzeczności z tym, że w punkcie $x_0$ funkcja $\left|v(x)\right|$ przyjmuje minimum globalne, a zatem musi być $|v(x_0)| = 0$.

Bibliografia

• Leja, Franciszek. Funkcje zespolone. Warszawa : PWN, 1976. s. 105

Źródła historyczne

• Augustin Louis Cauchy: Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique, 1^ère partie: Analyse Algébrique. Wyd. 1992. Éditions Jacques Gabay, 1821. 
• Leonhard Euler: Recherches sur les racines imaginaires des équations. T. 5. Berlin. s. 222–288.  Wersja angielska: Leonhard Euler: Investigations on the Imaginary Roots of Equations. T. 5. Berlin: Histoire de l'Académie Royale des Sciences et des Belles-Lettres de Berlin, s. 222–288. 
• Carl Friedrich Gauss: Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse. Helmstedt: C. G. Fleckeisen. 
• C. F. Gauss, “Another new proof of the theorem that every integral rational algebraic function of one variable can be resolved into real factors of the first or second degree”, 1815
• Hellmuth Kneser: Der Fundamentalsatz der Algebra und der Intuitionismus. T. 46. Mathematische Zeitschrift, s. 287–302. ISSN 0025-5874. 
• Martin Kneser: Ergänzung zu einer Arbeit von Hellmuth Kneser über den Fundamentalsatz der Algebra. T. 177. Mathematische Zeitschrift, s. 285–287. ISSN 0025-5874. 
• Karl Weierstraß: Neuer Beweis des Satzes, dass jede ganze rationale Function einer Veränderlichen dargestellt werden kann als ein Product aus linearen Functionen derselben Veränderlichen. 1891, s. 1085–1101. 
• Jeff Suzuki. Lagrange's Proof of the Fundamental Theorem of Algebra. „The Matematical Association Of America Monthly”. 113 October 2006, s. 705-714, październik 2006. 

Zobacz też

• ciało algebraicznie domknięte
• twierdzenie Abela-Ruffiniego