Zbiór Bernsteina

Zbiór Bernsteina - w topologii i opisowej teorii mnogości podzbiór przestrzeni polskiej, który jest w pewnym sensie bardzo nieregularny. Zbiór Bernsteina, jako podzbiór zbioru liczb rzeczywistych jest przykładem zbioru niemierzalnego (w sensie Lebesgue'a). Nazwa pojęcia została wprowadzona dla uhonorowania niemieckiego matematyka, Felixa Bernsteina, który pierwszy rozważał zbiory tego typu w 1908.

Definicja

Niech $X$ będzie nieprzeliczalną przestrzenią polską. Powiemy, że podzbiór $Z\subseteq X$ jest zbiorem Bernsteina w $X$ jeśli dla każdego nieprzeliczalnego zbioru borelowskiego $B\subseteq X$ spełnione są warunki

• $B\cap Z\neq \varnothing$
• $B\setminus Z\neq \varnothing$.

Własności

Niech $X$ będzie nieprzeliczalną przestrzenią polską oraz niech $Z\subseteq X$. Wówczas następujące warunki są równoważne:

• $Z$ jest zbiorem Bernsteina,
• ani $Z$ ani $X\setminus Z$ nie zawiera nieprzeliczalnego domkniętego podzbioru $X$,
• zarówno $Z$ jak i $X\setminus Z$ ma niepusty przekrój z każdym nieprzeliczalnym domkniętym podzbiorem $X$.

Jeśli $Z\subseteq X$ jest zbiorem Bernsteina, to:

• $X\setminus Z$ jest zbiorem Bernsteina,
• $Z$ nie ma własności Baire'a,
• $Z$ jest niemierzalny względem dowolnej niezerowej miary Radona na $X$.

Istnieją takie dwie podgrupy $G_1, G_2$ grupy $(\mathbb{R}, +)$ dla których

$G_1\cap G_2=\{0\}$

i które są zbiorami Bernsteina.

Konstrukcja

Dowód istnienia zbiorów Bernsteina wymaga użycia AC. Jan Mycielski, Hugo Steinhaus i Stanisław Świerczkowski udowodnili, że pod założeniem aksjomatu determinacji nie istnieją zbiory Bernsteina.

Poniższe rozumowanie oparte jest o twierdzenie Zermelo, które mówi, że każdy zbiór można dobrze uporządkować (twierdzenie Zermelo jest równoważne aksjomatowi wyboru).

Niech $X$ będzie nieprzeliczalną przestrzenią polską - wówczas $X$ jest mocy continuum oraz rodzina wszystkich borelowskich podzbiorów $X$ jest również mocy continuum. Wobec powyższego można wybrać listę

$\langle B_\alpha:\alpha<2^{\aleph_0}\rangle$

złożoną ze wszystkich nieprzeliczalnych borelowskich podzbiorów $X$. (Gdzie $2^{\aleph_0}$ jest traktowane jako liczba porządkowa.) Teraz przez indukcję ze względu na $\alpha<2^{\aleph_0}$ można wybrać takie punkty $x_\alpha,y_\alpha\in X$, że:

$x_\alpha\neq y_\alpha$,

$x_\alpha,y_\alpha\in B_\alpha \setminus \{x_\beta,y_\beta:\beta<\alpha\}$.

Wybór jest możliwy, ponieważ na kroku $\alpha<2^{\aleph_0}$ wiadomo, że zbiór $B_\alpha$ jest nieprzeliczalny a więc (jako zbiór borelowski) także mocy continuum, natomiast zbiór $\{x_\beta,y_\beta:\beta<\alpha\}$ jest mocy mniejszej niż continuum.

Po zakończeniu powyższego procesu, skonstruowane zbiory

$\{x_\alpha\colon\,\alpha<2^{\aleph_0}\}$ i $\{y_\alpha\colon\,\alpha<2^{\aleph_0}\}$

są rozłączne oraz każdy z nich jest zbiorem Bernsteina.

Wzmocnienie

Powyższą konstrukcję można wzmocnić: dla dowolnej nieprzeliczalnej przestrzeni polskiej istnieje jej rozbicie $(X_\alpha)_{\alpha<2^{\aleph_0}}$ na continuum zbiorów Bernsteina.

Bibliografia

• A. B. Kharazishvili, Nonmeasurable sets and functions. North-Holland Mathematics. Studies, 195. Elsevier Science B.V., Amsterdam, 2004, ss. 17-26

Zobacz też

• zbiór Vitalego,
• miara Lebesgue'a,
• własność Baire'a.