Zbiór domknięty

Zbiór domknięty – w przestrzeni topologicznej zbiór, którego dopełnienie jest zbiorem otwartym.

Przykłady

• Na prostej z metryką euklidesową przykładami zbiorów domkniętych są:
  • przedziały domknięte,
  • zbiory jednoelementowe,
  • zbiór Cantora.
• Cała przestrzeń również jest zbiorem domkniętym (i jednocześnie otwartym).

Własności

W przestrzeni metrycznej zbiór $D$ jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego ciągu zbieżnego elementów z $D$ jego granica również należy do $D$. Jeżeli $D$ jest dodatkowo ograniczony, to jest zwarty.

W dowolnej przestrzeni topologicznej zbiór pusty oraz cała przestrzeń są równocześnie zbiorami otwartymi i domkniętymi (p. zbiór otwarto-domknięty). W przestrzeniach euklidesowych są to jedyne takie zbiory.

Zobacz też

• przestrzeń topologiczna
• domknięcie