Zbiór gęsty

Topologia

Zbiór gęsty – w przestrzeni topologicznej zbiór, którego domknięcie jest całą przestrzenią. Równoważnie, zbiór jest gęsty, jeżeli ma z każdym niepustym zbiorem otwartym co najmniej jeden punkt wspólny.

Przykłady

• zbiory liczb wymiernych i niewymiernych są gęstymi podzbiorami zbioru liczb rzeczywistych z naturalną (euklidesową) metryką.

• zbiór wielomianów jest gęstym podzbiorem zbioru funkcji ciągłych określonych na zbiorze zwartym z metryką supremum (Twierdzenie Stone'a-Weierstrassa).

• zbiór funkcji nieróżniczkowalnych w żadnym punkcie (takich jak Funkcja Weierstrassa ) jest gęstym podzbiorem zbioru funkcji ciągłych określonych na zbiorze zwartym z metryką supremum.

• zbiór funkcji prostych jest gęsty w zbiorze funkcji całkowalnych z metryką generowaną przez normę $L^1$. Jeśli miara jest miarą Radona to również zbiór funkcji ciągłych jest podzbiorem gęstym.

• zbiór wielomianów trygonometrycznych jest gęsty w zbiorze funkcji ciągłych i okresowych o okresie $2 \pi$ z metryką supremum, co może posłużyć do konstrukcji podzbioru gęstego w zbiorze funkcji ciągłych okresowych o dowolnym danym okresie.

Teoria mnogości

Zbiór gęsty (w sobie) – w teorii mnogości podzbiór $D$ częściowego porządku $(P, <)$ taki, że

$\forall_{p \in P}\; \exists_{d \in D}\; d < p$.