Zbiór miary zero

Zbiory miary zero – w analizie matematycznej, teorii mnogości, a przede wszystkim w teorii miary podzbiory rozważanej przestrzeni, które są „małe” lub z punktu widzenia miary.

Definicje

Niech $(X,\mathcal{F},\mu)$ będzie przestrzenią z miarą. Podzbiór $A$ przestrzeni $X$ nazywany jest zbiorem $\mu$-miary zero (lub krótko: zbiorem miary zero, jeśli z kontekstu wynika o jaką miarę chodzi), gdy

• $A$ jest $\mathcal{F}$-mierzalny, tzn. $A\in \mathcal{F}$
• $\mu(A)=0\,$.

Podzbiory zbiorów miary zero (które nie muszą być mierzalne w przypadku miar, które nie są miara zupełna) nazywa się zbiorami zaniedbywalnymi (w sensie rozważanej miary). Jeżeli miara nie jest sprecyzowana, to dla przestrzeni euklidesowej ${\mathbb R}^n$ przyjmuje się domyślnie miarę Lebesgue'a $\lambda_n$, z kolei gdy dyskutowana przestrzeń jest lokalnie zwartą grupą topologiczną, to na ogół mówi się o zbiorach miary zero względem (lewostronnie niezmienniczej) miary Haara.

Mówi się, że pewna własność zachodzi prawie wszędzie, jeżeli zbiór punktów nie mających tej własności jest zbiorem miary zero (względem ustalonej miary).

Przykład

Niech $f,\; f_n,\; g: \mathbb R \to \mathbb R$ na przestrzeni $(\mathbb R, \mathcal B(\mathbb R), \lambda)$, wówczas

• $f,\; g$ są równe prawie wszędzie wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór $\left\{x \in \mathbb R: f(x) \ne g(x)\right\}$ jest zbiorem miary zero,
• ciąg $(f_k)_k$ jest prawie wszędzie zbieżny do $f$ wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór $\left\{x \in \mathbb R: \lim\limits_{k \to \infty}~f_k(x) \ne f(x)\right\}$ jest zbiorem miary zero,
• $f$ jest ciągła prawie wszędzie wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór $\big\{x \in \mathbb R: f$ nie jest ciągła w punkcie $x\big\}$ jest zbiorem miary zero.

Zbiory miary zero Lebesgue'a

W przypadku miary Lebesgue'a, możemy zdefiniować zbiory miary zero bez odwoływania się bezpośrednio do pojęcia miary.

Niech $A \subseteq \mathbb R$. Powiemy, że $A$ jest zbiorem miary zero (w sensie Lebesgue'a), jeśli dla każdego $\varepsilon>0$ można wybrać taki ciąg odcinków otwartych $I_1,\; I_2,\; I_3,\; \ldots$, że

$A \subseteq \bigcup\limits_{n=1}^\infty I_n$

oraz

$\sum\limits_{n=1}^\infty |I_n|<\varepsilon$.

Powyżej, dla odcinka otwartego $I = (a, b)$, długość odcinka $I$ wynosi $|I| = b-a$. Jeśli rozważaną przestrzenią jest $\mathbb R^n$, to zamiast odcinków używamy tzw. przedziałów wielowymiarowych, czyli kostek otwartych – zbiorów postaci $J_1 \times \dots \times J_n$, gdzie $J_1,\; \dots,\; J_n$ są przedziałami otwartymi oraz

$|J_1 \times \dots \times J_n| = |J_1| \cdot \dots \cdot |J_n|$.

Przykłady i własności

Niech $\mathcal L$ będzie rodziną wszystkich podzbiorów prostej rzeczywistej, które są miary zero Lebesgue'a.

• Trójkowy klasyczny zbiór Cantora jest zbiorem miary zero. Należy jednak podkreślić, że nie wszystkie zbiory Cantora mają tę własność – poprzez odpowiednie zmiany w konstrukcji (wyrzucanie odpowiednio mniejszych odcinków) możemy skonstruować zbiór Cantora dowolnej skończonej miary.
• Prostą rzeczywistą $\mathbb R$ można przedstawić jako sumę dwóch zbiorów, $\mathbb R = K \cup L$, takich że $L \in \mathcal L$, a $K$ jest zbiorem pierwszej kategorii.

  Aby podać przykład takich zbiorów $K,\; L$ ustalmy numerację $\langle q_n: n=1,\; 2,\; 3,\; \dots \rangle$ zbioru liczb wymiernych (przypomnijmy, że zbiór liczb wymiernych jest przeliczalny). Dla $n,\; m \in \mathbb N$, niech $I^n_m$ będzie odcinkiem otwartym o środku w $q_n$ i długości $2^{-(n+m)}$. Wówczas zbiór $L = \bigcap\limits_{m=1}^\infty~\bigcup\limits_{n=1}^\infty~I^n_m$ jest miary zero, ale jego dopełnienie $K = \mathbb R \setminus L$ jest pierwszej kategorii.

• Inny przykład rozkładu jak powyżej jest dany przez liczby Liouville'a: zbiór liczb Liouville'a jest miary zero na prostej, a jego dopełnienie jest zbiorem pierwszej kategorii.
• $\mathcal L$ jest σ-ideałem podzbiorów prostej. Zawiera on wszystkie zbiory jednopunktowe, a więc także i wszystkie zbiory przeliczalne.
• Każdy zbiór z $\mathcal L$ zawarty jest w zbiorze typu G_δ należącym do $\mathcal L$.
• Każda rodzina rozłącznych borelowskich podzbiorów $\mathbb R$, które nie są miary zero (w sensie Lebesgue'a) jest co najwyżej przeliczalna.
• Konsekwencją zasady Cavalieriego jest fakt mówiący, że jeżeli $E$ jest podzbiorem miary zero przestrzeni $\mathbb{R}^{n+m}$, to

$\lambda_m(\{y \in \mathbb{R}^m\colon (x, y) \in E\})=0$ dla prawie wszystkich $x\in \mathbb{R}^n$,

$\lambda_n(\{x \in \mathbb{R}^n\colon (x, y) \in E\})=0$ dla prawie wszystkich $y\in \mathbb{R}^m$.

• Niech $(X,{\mathcal F},\mu)$ i $(Y,{\mathcal G},\nu)$ będą przestrzeniami mierzalnymi z miarami σ-skończonymi i niech $\lambda=\mu\otimes \nu$ będzie miarą produktową. Przypuśćmy, że $E\subseteq X\times Y$ jest zbiorem mierzalnym (tzn. $E\in {\mathcal F}\otimes {\mathcal G}$). Korzystając z twierdzenia Fubiniego można udowodnić, że następujące warunki są równoważne:

(i) $\lambda(E)=0\,$,

(ii) $\mu\left(\left\{x\in X:\nu(\{y\in Y:(x,y)\in E\})\neq 0\right\}\right)=0$,

(iii) $\nu\left(\left\{y\in Y:\mu(\{x\in X:(x,y)\in E\})\neq 0\right\}\right)=0$.

Bibliografia

• Stanisław Łojasiewicz: Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych. Warszawa: PWN, 1973, s. 144-145. 
• John C. Oxtoby: Measure and Category: A Survey of the Analogies Between Topological and Measure Spaces. New York - Heidelberg - Berlin: Springer-Verlag, 1980, s. 2-5. 

Zobacz też

• funkcja prawie wszędzie skończona,
• diagram Cichonia,
• ideały w teorii mnogości,
• zbieżność prawie wszędzie.