Zbiór ograniczony

Zbiór ograniczony – termin w matematyce używany na określenie zbiorów w pewnym sensie małych. Dokładna definicja tego pojęcia zależy od kontekstu w którym jest ono wprowadzane.

Porządki częściowe

Niech $(X,\sqsubseteq)$ będzie zbiorem częściowo uporządkowanym. Przypuśćmy też, że $A\subseteq X$ i $s\in X$. Powiemy, że

• element $s$ jest ograniczeniem górnym zbioru $A$ jeśli $(\forall a\in A)(a\sqsubseteq s)$,
• element $s$ jest ograniczeniem dolnym zbioru $A$ jeśli $(\forall a\in A)(s\sqsubseteq a)$.

Każdy element zbioru $X$ jest zarówno ograniczeniem dolnym jak i ograniczeniem górnym zbioru pustego.

Jeśli istnieje ograniczenie górne dla zbioru $A$, to mówimy iż zbiór ten jest ograniczony z góry, a jeśli istnieje ograniczenie dolne, to powiemy że zbiór jest ograniczony z dołu.

Zbiory ograniczone to zbiory które mają obydwa ograniczenia, dolne i górne. Tak więc podzbiór zbioru częściowo uporządkowanego jest ograniczony wtedy i tylko wtedy gdy jest on zawarty w pewnym przedziale.

W szczególności, podzbiór $A$ zbioru liczb rzeczywistych nazwiemy ograniczonym z góry (z dołu), jeżeli istnieje liczba większa (mniejsza) od wszystkich liczb tego zbioru, a jest ograniczony wtedy i tylko wtedy gdy jest zawarty w pewnym skończonym przedziale.

Przestrzenie metryczne

Ograniczony podzbiór płaszczyzny (u góry) oraz jej nieograniczony podzbiór (na dole)

Niech $(X, d)$ będzie przestrzenią metryczną. Podzbiór $A$ przestrzeni $X$ nazywany jest zbiorem ograniczonym (w $X$), jeżeli jest on zawarty w pewnej kuli. Równoważnie, jeżeli

$\sup\{d(x,y)\colon\,x,y\in A\}<\infty$.

Przestrzenie liniowo-topologiczne

Niech $X$ będzie przestrzenią liniowo-topologiczną. Powiemy, że zbiór $A\subseteq X$ jest ograniczony w $X$, gdy dla każdego otoczenia zera $U\subseteq X$ istnieje $\alpha\in (0,\infty)$, że $A\subseteq \alpha U=\{\alpha u\colon\; u\in U\}$.

Można wykazać, że jeśli $X$ jest jednocześnie przestrzenią metryczną, to definicja ta jest równoważna definicji zbioru ograniczonego w sensie przestrzeni metrycznych.

Zobacz też

• lemat Kuratowskiego-Zorna,
• zbiór całkowicie ograniczony,
• kres dolny i górny.