Zbiór pierwszej kategorii

W topologii zbiór nazywamy zbiorem pierwszej kategorii (czasami zbiorem mizernym), jeżeli można go przedstawić w postaci przeliczalnej sumy zbiorów nigdziegęstych.

Bardziej formalnie, niech $(X,\tau)$ będzie przestrzenią topologiczną. Powiemy że zbiór $A\subseteq X$ jest pierwszej kategorii Baire'a w $X$ (lub I kategorii) jeśli można go przedstawić jako sumę $A=\bigcup\limits_{n=1}^\infty A_n$, gdzie każdy ze zbiorów $A_n$ jest nigdziegęsty w $X$ (tzn ${\rm int}\big({\rm cl}(A_n)\big)=\emptyset$). Rodzinę wszystkich zbiorów pierwszej kategorii w $X$ będziemy oznaczać przez ${\mathcal K}(X)$ (albo po prostu przez ${\mathcal K}$ jeśli jest jasne o jakiej przestrzeni topologicznej mówimy).

Zbiory które nie są pierwszej kategorii nazywane są zbiorami drugiej kategorii Baire'a (lub II kategorii).

Własności

• Zbiory pierwszej kategorii w przestrzeni $X$ tworzą σ-ideał podzbiorów $X$. Każdy zbiór z ${\mathcal K}(X)$ jest zawarty w pewnym zbiorze typu F_σ który też jest pierwszej kategorii.
• Otwarte niepuste podzbiory przestrzeni zupełnej nie są pierwszej kategorii w tej przestrzeni.
• Doskonałe przestrzenie polskie wyglądają tak samo jeśli patrzymy na ich podzbiory borelowskie i zbiory pierwszej kategorii: jeśli $X,Y$ są doskonałymi przestrzeniami polskimi to istnieje izomorfizm borelowski $\varphi:X\longrightarrow Y$ który zachowuje zbiory pierwszej kategorii (tzn $A\in {\mathcal K}(X)$ wtedy i tylko wtedy gdy $\varphi(A)\in {\mathcal K}(Y)$).
• Każda rodzina rozłącznych borelowskich podzbiorów prostej rzeczywistej ${\mathbb R}$ które nie są pierwszej kategorii jest co najwyżej przeliczalna.

Przykłady i zastosowanie

• Każdy przeliczalny podzbiór prostej rzeczywistej ${\mathbb R}$ jest I kategorii w ${\mathbb R}$. W szczególności zbiór liczb wymiernych jest pierwszej kategorii (choć jest to gęsty podzbiór ${\mathbb R}$).
• Prostą rzeczywistą ${\mathbb R}$ można przedstawić jako sumę dwóch zbiorów, ${\mathbb R}=K\cup L$, takich że

$K$ jest zbiorem pierwszej kategorii, a

$L$ jest zbiorem miary zero Lebesgue'a.

Aby podać przykład takich zbiorów $K,L$ ustalmy numerację $\langle q_n:n=1,2,3,\ldots\rangle$ zbioru liczb wymiernych. (Przypomnijmy, że zbiór liczb wymiernych jest przeliczalny.) Dla liczb naturalnych $n,m$ niech $I^n_m$ będzie odcinkiem otwartym o środku w $q_n$ i długości $2^{-(n+m)}$. Wówczas zbiór $L=\bigcap\limits_{m=1}^\infty\bigcup\limits_{n=1}^\infty I^n_m$ jest miary zero, ale jego dopełnienie $K={\mathbb R}\setminus L$ jest pierwszej kategorii.

• Inny przykład rozkładu jak powyżej jest dany przez liczby Liouville'a: zbiór liczb Liouville'a jest miary zero na prostej, a jego dopełnienie jest zbiorem pierwszej kategorii.
• Polski matematyk Stefan Banach przedstawił w 1931 następujące spektakularne zastosowanie zbiorów pierwszej kategorii. Niech ${\mathcal C}([0,1])$ będzie przestrzenią wszystkich funkcji ciągłych z odcinka $[0,1]$ w zbiór liczb rzeczywistych ${\mathbb R}$. Wyposażmy ${\mathcal C}([0,1])$ w topologię zbieżności jednostajnej zadanej przez metrykę

$d(f,g)=\sup\{|f(x)-g(x)|:x\in [0,1]\}.$

Wówczas ${\mathcal C}([0,1])$ jest przestrzenią polską. Rozważmy zbiór

$NR=\big \{f\in {\mathcal C}([0,1]): f$ nie ma pochodnej w żadnym punkcie odcinka $[0,1]\ \big\}.$

Banach udowodnił, że zbiór ${\mathcal C}([0,1])\setminus NR$ jest pierwszej kategorii w ${\mathcal C}([0,1])$, czyli że z topologicznego punktu widzenia prawie każda funkcja ciągła nie jest różniczkowalna w żadnym punkcie.

Gra Banacha-Mazura

Ze zbiorami pierwszej kategorii związana jest (najprawdopodobniej) pierwsza z pozycyjnych gier nieskończonych rozważanych w matematyce. Gra ta była opisana przez polskiego matematyka Stanisława Mazura w Problemie 43 w Księdze Szkockiej. Odpowiedź na pytanie Mazura była dana przez Stefana Banacha w 1935.

Niech Z będzie dowolnym podzbiorem $\mathbb R$. Rozważmy następującą grę dwóch graczy, oznaczanych przez A i B. Gracze wykonuja nieskończenie wiele posunięć ponumerowanych liczbami naturalnymi $n=1,2,3,\ldots$. Zaczynają w ten sposób, że Gracz A wybiera niepusty przedział otwarty $I_1$ a Gracz B odpowiada przez wskazanie niepustego otwartego przedziału $I_2\subseteq I_1$. Kiedy gracze dochodzą do $n$tego kroku w grze, to mają oni skontruowany zstępujący ciąg niepustych przedziałów otwartych $I_1\supseteq I_2\supseteq \ldots I_{2n-2}\supseteq I_{2n-1}$. Na $n$tym etapie gry najpierw Gracz A wybiera niepusty przedział otwarty $I_{2n}\subseteq I_{2n-1}$, a potem Gracz B wskazuje niepusty otwarty przedział $I_{2n+1}\subseteq I_{2n}$.

Kiedy gracze wykonają już wszystkie posunięcia (jest ich nieskończenie wiele!), to decydujemy że Gracz B wygrał partię $\langle I_n:n=1,2,3,4,\ldots\rangle$ wtedy i tylko wtedy gdy $\bigcap\limits_{n=1}^\infty I_n\subseteq Z$.

Okazuje się, że Gracz B ma strategię zwycięską w tej grze wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ${\mathbb R}\setminus Z$ jest pierwszej kategorii.

Zobacz też

• zbiór nigdziegęsty
• diagram Cichonia
• własność Baire'a
• ideały w teorii mnogości