Zbiór potęgowy

Zbiór potęgowy – dla danego zbioru $S$ zbiór wszystkich jego podzbiorów oznaczany symbolami $\mathcal P(S)$ lub $2^S$. W aksjomatycznej teorii zbiorów ZF istnienie zbioru potęgowego postuluje aksjomat zbioru potęgowego.

Moc zbioru potęgowego

Jeśli $A$ jest zbiorem $n$-elementowym, to $\mathcal{P}(A)$ ma dokładnie $2^n$ elementów. W szczególności, zbiór potęgowy zbioru pustego złożony jest tylko ze zbioru pustego, a więc ma $2^0=1$ element. Ogólniej, dla dowolnego zbioru $A$

$|\mathcal{P}(A)|=2^{|A|}$,

gdzie $|\mathcal{P}(A)|, |A|$ oznaczaja moc (liczbę kardynalną) zbioru, odpowiednio, $\mathcal{P}(A)$ i $A\,$. Zbiór potęgowy zbioru liczb naturalnych jest mocy continuum, tzn. jest równoliczny ze zbiorem liczb rzeczywistych. Twierdzenie Cantora mówi, że dla każdego (skończonego albo nieskończonego) zbioru $A$, jego zbiór $\mathcal{P}(A)$ jest większej mocy (ma "więcej elementów").

Przykłady

• $\mathcal{P}(\varnothing)=\{\varnothing\}$
• $\mathcal{P}(\{\varnothing\})=\{\varnothing, \{\varnothing\}\}$
• $\mathcal{P}(\{1,2,3\})=\{\varnothing, \{1\}, \{2\}, \{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}$

Bibliografia

• Aleksander Błaszczyk, Sławomir Turek: Teoria mnogości. Warszawa: PWN, 2007, s. 7, 101. ISBN 978-83-01-15232-1. 

Zobacz też

• zbiór pusty
• następnik liczby porządkowej