Zbiór wypukły

Zbiór wypukły – intuicyjnie, podzbiór pewnej przestrzeni euklidesowej, o tej własności, że dowolny odcinek, którego końce należą do tego zbioru, w całości się w nim zawiera.

Pojęcie odcinka może być zdefiniowane rozmaicie, jednak definicja zbioru wypukłego pozostaje bez zmian. Formalna definicja może się obejść bez tego pojęcia i jest uogólniona na przypadek przestrzeni liniowej, a nawet afinicznej nad ciałem liczb rzeczywistych.

Definicja

Niech $X$ będzie przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych. Zbiór $W\subseteq X$ nazywamy wypukłym, gdy

$\forall_{x_1, x_2\in W}\ \forall_{\begin{smallmatrix}\alpha_1, \alpha_2\geqslant 0 \\ \alpha_1+\alpha_2=1\end{smallmatrix}}(\alpha_1x_1+\alpha_2x_2)\in W$

Niech $X$ będzie przestrzenią afiniczną nad ciałem liczb rzeczywistych. Zbiór $W\subseteq X$ nazywamy wypukłym, gdy

$\forall_{x_1, x_2\in W} \ \forall_{0 \leqslant \alpha \leqslant 1} \ (x_1+\alpha \overrightarrow{x_1x_2})\in W$

Punkty ekstremalne

Punkt $x\in W$ nazywamy punktem ekstremalnym zbioru $W$, jeśli nie należy on do wnętrza żadnego odcinka zawartego w zbiorze $W$. Innymi słowy, punkt $x\in W$ jest ekstremalny jeśli $x= \alpha x_1 + (1-\alpha)x_2 \Rightarrow x_1=x \vee x_2=x$.

Intuicyjnie, punkty ekstremalne to "wierzchołki" zbioru wypukłego – ale nie tylko – np. każdy punkt brzegu koła jest punktem ekstremalnym.

Przykłady

Przykłady zbiorów wypukłych na płaszczyźnie: płaszczyzna, półpłaszczyzna, kąt ostry, kąt prosty, koło, kwadrat, trójkąt, odcinek, prostokąt, każdy wielokąt foremny. Pojedynczy punkt też jest zbiorem wypukłym i zarazem punktem ekstremalnym. Wierzchołki wielokątów wypukłych są ich punktami ekstremalnymi.

W przestrzeni natomiast bryłami wypukłymi są np. kula, sześcian, stożek, prostopadłościan.

Zbiór nie będący wypukłym nazywa się wklęsłym lub niewypukłym. Zbiorami niewypukłymi są takie zbiory jak:

Każdy skończony zbiór punktów o co najmniej dwóch elementach oraz każdy okrąg są zbiorami wklęsłymi. Przykładami niewypukłych brył są: sfera, torus.

Kąt płaski jest wypukły wtedy i tylko wtedy gdy jego miara jest mniejsza bądź równa $\pi$ lub gdy jest pełny.

Właściwości

Część wspólna dowolnie wielu zbiorów wypukłych jest znów zbiorem wypukłym, ale suma zbiorów wypukłych nie musi być zbiorem wypukłym.

Dla wielościanów wypukłych prawdziwe jest twierdzenie Eulera o wielościanach, które mówi, że $S+W-K=2$, gdzie $S$ to liczba ścian, $W$ to liczba wierzchołków a $K$ liczba krawędzi.

Zobacz też

• funkcja wypukła
• otoczka wypukła