Zbieżność jednostajna

Zbieżność jednostajna – własność ciągu funkcji o wartościach w danej przestrzeni metrycznej.

Definicja

Niech $X$ będzie niepustym zbiorem, a $(Y, \varrho_Y)$ oznacza przestrzeń metryczną. Ciąg $(f_n)_{n \in \mathbb N}$ funkcji $f_n\colon X \to Y$ jest jednostajnie zbieżny do funkcji $f\colon X \to Y,$ jeżeli

$\forall_{\epsilon > 0}\; \exists_{N \in \mathbb N}\; \forall_{n \geqslant N}\; \forall_{x \in X}\; \varrho_Y\big(f_n(x), f(x)\big) < \epsilon.$

Zapis ten można rozumieć w następujący sposób:

$\lim_{n \to \infty}\;\sup_{x \in X}\big(\varrho_Y(f_n(x), f(x)\big)) = 0.$

Jeśli ciąg funkcji $(f_n)$ zbiega jednostajnie do funkcji $f,$ to o $f$ mówi się, że jest granicą jednostajną ciągu $(f_n)$ i pisze $f_n \rightrightarrows f.$

Jeżeli $X$ jest przestrzenią topologiczną, to ciąg $(f_n)_{n \in \mathbb N}$ funkcji $f_n\colon X \to Y$ jest niemal jednostajnie zbieżny do funkcji $f\colon X \to Y,$ jeżeli dla każdego zbioru zwartego $K \subseteq X$ ciąg $(f_n|_K)$ jest jednostajnie zbieżny.

Rys historyczny

• W 1821 Augustin Louis Cauchy opublikował błędny dowód stwierdzenia, że granica punktowa ciągu funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą. Joseph Fourier i Niels Henrik Abel podali kontrprzykład dla tego stwierdzenia używając szeregów Fouriera.
• Dirichlet zanalizował argumenty Cauchy'ego, znalazł błąd i wskazał dodatkowe założenie potrzebne dla ciągłości funkcji granicznej: zbieżność jednostajną.
• W 1906 Maurice Fréchet opublikował metrykę zbieżności jednostajnej (chociaż twierdził on, że ta metryka była już rozważana wcześniej przez Karla Weierstrassa).

Przykłady

• Każdy ciąg stały jest zbieżny jednostajnie (do swojego stałego wyrazu).
• Granica jednostajna ciągu funkcji które nie są ciągłe w żadnym punkcie może być ciągła. Rozważmy np. funkcję Dirichleta $I_\mathbb Q$ i połóżmy $f_n(x) = 2^{-n} I_\mathbb Q(x)$ dla $x \in \mathbb R.$ Wówczas $f_n \rightrightarrows 0.$
• Na mocy twierdzenia Weierstrassa każda funkcja ciągła $f\colon [0,1] \to \mathbb R$ jest granicą jednostajną ciągu wielomianów.
• Rozważmy funkcje $f_n\colon [0,1] \to [0,1]$ zadane w dziedzinie $x \in [0,1]$ wzorem $f_n(x) = x^n$ dla $n \in \mathbb N.$ Niech $f\colon [0,1] \to [0,1]$ będzie dana wzorem

$f(x) = \begin{cases} 0 & \mbox{dla } 0 \leqslant x < 1, \\ 1 & \mbox{dla } x = 1. \end{cases}$

Wówczas $f_n \to f,$ lecz $f_n \not \rightrightarrows f.$

Własności

• Zbieżność jednostajna pociąga zbieżność punktową.
• Jeśli $f, g, f_n, g_n\colon \mathbb R \to \mathbb R$ oraz $f_n \rightrightarrows f$ i $g_n \rightrightarrows g,$ a $\alpha, \beta \in \mathbb R,$ to

  $\alpha f_n + \beta g_n \rightrightarrows \alpha f + \beta g,$

  jeśli dodatkowo funkcje $f$ i $g$ są ograniczone, to $f_n g_n \rightrightarrows fg,$

  jeśli ponadto dla pewnego $M > 0$ dla każdego $x \in \mathbb R$ zachodzi $\big|g(x)\big| > M,$ to $\tfrac{f_n}{g_n} \rightrightarrows \tfrac{f}{g}.$

• Jeśli $f_n, f\colon [0,1] \to \mathbb R$ są ciągłe i $f_n \to f$ oraz $\forall_{n \in \mathbb N}\; \forall_{x \in [0,1]}\; f_n(x) \leqslant f_{n+1}(x),$ to $f_n \rightrightarrows f.$ (twierdzenie Diniego)
• Jeśli $X, Y$ są przestrzeniami metrycznymi, a $f_n\colon X \to Y,$ są funkcjami ciągłymi, przy czym $f_n \rightrightarrows f,$ to $f$ również jest funkcją ciągłą.
• Jeśli $X, Y$ są przestrzeniami metrycznymi, $Y$ jest przestrzenią zupełną, a $f_n\colon X \to Y,$ to:

$f_n \rightrightarrows f,$ do pewnej funkcji $f\colon X\to Y$ wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg $(f_n)$ spełnia jednostajny warunek Cauchy'ego, tzn.

$\forall_{\varepsilon>0}\exists_{N\in\mathbb{N}}\forall_{n,m\geq N}\forall_{x\in X}\;\; \rho_{Y}(f_n(x),f_m(x))<\varepsilon$.

• Jeśli $f_n\colon \mathbb R \to \mathbb R$ są takimi funkcjami różniczkowalnymi, że $f_n \rightrightarrows f$ oraz ciąg funkcji pochodnych $f'_n \rightrightarrows g,$ to funkcja $f$ jest różniczkowalna i $f' = g.$

Pojęcia pokrewne

Austriacki matematyk Hans Hahn wprowadził w 1921 następujące pojęcia.

Niech $X, Y$ będą przestrzeniami metrycznymi, a $f_n, f\colon X \to Y$ będą dla $n \in \mathbb N$ dowolnymi funkcjami.

Ciąg $(f_n)$ zbiega ciągle do funkcji $f,$ jeśli

dla każdego ciągu $(x_n)$ elementów przestrzeni $X,$ jeśli $x_n \to x,$ to $f_n(x_n) \to f(x).$

Ciąg $(f_n)$ zbiega ciągle w silnym sensie do funkcji $f,$ jeśli

dla każdego ciągu $(x_n)$ elementów przestrzeni $X$, jeśli ciąg $\big(f(x_n)\big)$ jest zbieżny w $Y,$ to także ciąg $\big(f_n(x_n)\big)$ jest zbieżny oraz $f(x_n) \to f_n(x_n).$

Zbieżność jednostajna pociąga ciągłą zbieżność w silnym sensie. Jeśli $Y$ jest zwarta, to pojęcie zbieżności ciągłej w silnym sensie pokrywa sięz pojęciem zbieżności jednostajnej. Jeśli $X$ jest zwarta, to pojęcie ciągłej zbieżności jest równoważne zbieżności jednostajnej.

Czytelnik może znaleźć więcej informacji w monografii Kazimierza Kuratowskiego

Zbieżność w przestrzeniach funkcji ciągłych

Niech $X, Y$ będą przestrzeniami metrycznymi, a $\mathcal C(X, Y)$ oznacza zbiór wszystkich funkcji ciągłych z przestrzeni $X$ w przestrzeń $Y.$ Dla $f,g\in {\mathcal C}(X,Y)$ określamy

$d(f, g) = \sup_{x \in X} \Bigg(\min\Big(1, \varrho_Y\big(g(x),f(x)\big)\Big)\Bigg)$

Wówczas $d$ jest metryką na zbiorze $\mathcal C(X,Y)$ nazywaną metryką zbieżności jednostajnej.

• Jeśli $X$ jest przestrzenią zwartą, to topologia zbieżności jednostajnej na $\mathcal C(X, Y)$ zgadza się z tzw. topologią naturalną, zwaną też topologią zwarto-otwartą, która jest generowana przez podbazę złożoną ze wszystkich zbiorów postaci

  $U(C, V) = \big\{f\in \mathcal C(X, Y)\colon f[C] \subseteq V\big\},$ gdzie $C \subseteq X$ jest zbiorem zwartym, a $V \subseteq Y$ jest zbiorem otwartym.

• Jeśli $X$ jest przestrzenią zwartą, a $Y$ jest przestrzenią zupełną, to $\mathcal C(X, Y)$ również jest przestrzenią zupełną.
• $\mathcal C\big([0,1], \mathbb R\big)$ jest przestrzenią polską.

Zobacz też

• zbieżność punktowa ciągu funkcji,
• zbieżność monotoniczna,
• zbieżność jednostajna szeregu funkcyjnego.

Literatura

• Maurice Fréchet: Sur quelques points du calcul fonctionnel; Rend. del Circ. Mat. di Palermo, 22 (1906), 1-74
• Hahn, Hans: Theorie der reellen Funktionen. Berlin: J. Springer, 1921
• Kuratowski, Kazimierz: Topology; Volume I. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, 1966