Zbieżność prawie wszędzie

Zbieżność prawie wszędzie ciągu funkcji względem (pewnej) miary to rodzaj zbieżności ciągów funkcyjnych rozważany w teorii miary i analizie matematycznej. Pojęcie to pojawiło się w sferze zainteresowań matematyków z początkiem XX wieku. W teorii prawdopodobieństwa i statystyce znane jest ono pod nazwą zbieżność z prawdopodobieństwem 1 lub prawie na pewno.

Definicja

Teoria miary

Niech $(X,\mathfrak{M})$ będzie przestrzenią mierzalną oraz niech $\mu \colon \mathfrak{M} \longrightarrow [0,\infty]$ będzie miarą. Niech $(Y,d)$ będzie przestrzenią metryczną, $A\in\mathfrak{M}$ oraz $f_n, f \colon A \longrightarrow Y$.

Mówimy, że ciąg $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ jest prawie wszędzie zbieżny do funkcji $f$ (względem miary $\mu$ na zbiorze $A$), jeśli istnieje zbiór mierzalny $B \subset A, \mu(B) = 0$ taki, że

$\lim_{n\to\infty} f_n(x) = f(x)$ dla $x\in A \setminus B .$

Ciąg funkcji $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ jest więc zbieżny prawie wszędzie do funkcji $f$, jeśli jest on zbieżny punktowo do funkcji $f$ poza zbiorem miary zero.

Teoria prawdopodobieństwa

Niech $( \Omega, \mathcal{F}, P )$ będzie przestrzenią probabilistyczną.

Przypadek jednowymiarowy

Niech $X, X_1, X_2,... : \Omega \to \mathbb{R}$ będą zmiennymi losowymi. Mówimy, że ciąg zmiennych losowych $(X_n)_{n\in {\mathbb N}}$ jest zbieżny z prawdopodobieństwem 1 (prawie na pewno) do zmiennej $X$, jeżeli

$P \left( \{ \omega \in \Omega : \lim\limits_{n \to \infty} X_{n}(\omega) = X(\omega) \} \right) = 1 .$

Przypadek wielowymiarowy

Niech $X, X_1, X_2,... : \Omega \to \mathbb{R}^s$ będą wektorami losowymi. Mówimy, że ciąg wektorów losowych $(X_n)_{n\in {\mathbb N}}$ jest zbieżny z prawdopodobieństwem 1 (prawie na pewno) do wektora $X$, jeżeli

$\bigwedge\limits_{\varepsilon > 0 } \ \lim\limits_{n \to \infty} P \left( \bigcap\limits_{k=n}^{\infty} \{ \omega \in \Omega : || X_k(\omega) - X(\omega) || < \varepsilon \} \right) = 1 ,$

gdzie $|| \cdot || : \mathbb{R}^s \to [0, \infty)$ oznacza normę euklidesową w $\mathbb{R}^s .$

Uwagi

• Pojęcie zbieżności z prawdopodobieństwem 1 (prawie na pewno) jest odpowiednikiem zbieżności prawie wszędzie. W rachunku prawdopodobieństwa i statystyce terminy te są stosowane zamiennie.
• Zdanie: „ciąg $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ jest prawie wszędzie zbieżny do funkcji $f$”, używając symboliki matematycznej zapisuje się krótko:

$f_n \xrightarrow[]{p.w.} f$

Własności

• Każdy ciąg zbieżny prawie jednostajnie jest zbieżny prawie wszędzie.
• Jeśli miara $\mu$ jest σ-skończona oraz ciąg $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ jest $\mu$-prawie wszędzie zbieżny do funkcji $f$, to ciąg ten jest zbieżny według miary (do tej samej funkcji). W szczególności, jeśli ciąg zmiennych losowych określonych na danej przestrzeni probabilistycznej jest zbieżny z prawdopodobieństwem 1 to jest on zbieżny według prawdopodobieństwa.

Zobacz też

• zbieżność według miary
• zbieżność według rozkładu
• twierdzenie Lebesgue'a o zbieżności monotonicznej
• twierdzenie Lebesgue'a o zbieżności ograniczonej

Bibliografia

• Jarosław Bartoszewicz: Wykłady ze statystyki matematycznej. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1989, s. 52. ISBN 83-01-09054-5.