Zdanie logiczne

Zdanie w sensie logiki (zdanie logiczne) – wypowiedź, która stwierdza określony stan rzeczy. Zdanie z języka J stwierdza (na mocy reguł semantycznych J) stan rzeczy s zawsze i tylko wtedy, gdy na mocy reguł semantycznych języka J: zdanie z jest prawdziwe zawsze i tylko wtedy, gdy s a z jest fałszywe zawsze i tylko wtedy, gdy nie jest tak, że s.

Intuicje

Zdanie logiczne jest zdaniem oznajmującym, któremu można przypisać jedną z wartości logicznych. W logikach dwuwartościowych są nimi prawda albo fałsz. Ponieważ język logiki i matematyki znacznie różnią się od języków naturalnych, możemy modyfikować określenie podane w poprzednim zdaniu tak, aby dopasować je do wymogów języków formalnych. I tak możemy określać zdanie logiczne jako wyrażenie (niekoniecznie o skończonej długości), złożone z symboli danego języka połączonych relacjami iloczynu logicznego, sumy logicznej i negacji, któremu można (przynajmniej teoretycznie) podporządkować jedną z wartości logicznych.

Przykłady zdań

• Pada teraz deszcz.

Jest to zdanie w sensie logiki gdyż można mu przypisać wartość prawda lub fałsz.

• Idź do domu!

Nie jest to zdanie w sensie logiki gdyż nie można mu przypisać wartości prawda lub fałsz.

Zdania w rachunku zdań

Definicja

Aby zdefiniować formalnie czym jest zdanie, najpierw ustalamy zbiór zmiennych zdaniowych (tradycyjnie jest to zbiór liter $p,q,r,s$ z indeksami będącymi liczbami naturalnymi, czyli $p_0,p_1,\ldots,q_0,q_1,\ldots, r_0,r_1,\ldots,s_0,s_1,\ldots$). Zmienne zdaniowe mają reprezentować proste zdania których wartość logiczną możemy łatwo rozstrzygnąć, ale ta interpretacja nie jest w ogóle potrzebna w rachunku zdań. Zmienne zdaniowe mogą być (i często są) traktowane jako formalne symbole bez specjalnego znaczenia poza budowaną teorią.

Następnie ustalamy zbiór spójników logicznych, z których każdy ma ustaloną arność. Najczęściej używanymi spójnikami logicznymi są: spójnik jednoargumentowy $\neg$ (negacja) i cztery spójniki dwuargumentowe: $\vee$ (alternatywa), $\wedge$ (koniunkcja), $\Rightarrow$ (implikacja) i $\Leftrightarrow$ (równoważność).

Niech ${\mathcal Z}$ będzie zbiorem ciągów symboli, który jest najmniejszym zbiorem o następujących własnościach:

• każda zmienna zdaniowa należy do ${\mathcal Z}$,
• jeśli $\varphi \in {\mathcal Z}$, to również $\neg\varphi\in {\mathcal Z}$,
• jeśli $\varphi,\psi\in {\mathcal Z}$ i $*$ jest binarnym spójnikiem zdaniowym, to również $(\varphi*\psi)\in {\mathcal Z}$.

Elementy zbioru ${\mathcal Z}$ są nazywane zdaniami.

Przykłady i własności

Ustalmy zbiór zmiennych zdaniowych i zbiór spójników logicznych jak zaproponowane powyżej.

• Następujące ciągi symboli są zdaniami naszego rachunku zdań: $\big((p_0\wedge p_0)\vee p_0)\big)$, $\big((p_1\Rightarrow p_2)\Leftrightarrow \neg p_3\big)$, $\neg p_{889}$.
• Często dla poprawienia czytelności naszych napisów omijamy pewne nawiasy i piszemy np $p_0\vee p_1$ zamiast $(p_0\vee p_1)$. Istnieją również umowy co do kolejności wykonywanych operacji pozwalające na jeszcze poważniejsze omijanie nawiasów. Jednak ściśle biorąc nawiasy są potrzebne czy nawet niezbędne i lepiej jest je wszystkie zanotować niż zbyt wiele ominąć.
• Następujące ciągi symboli nie są zdaniami naszego rachunku zdań: $p_0\wedge)$, $(p_1)$, $\vee p_{889}$.
• Jeśli każdej zmiennej zdaniowej przyporządkujemy jakąś wartość logiczną, to przyporządkowanie jest rozszerzane na wszystkie zdania (przez indukcję po złożoności zdania). Niektóre zdania otrzymają wartość logiczną prawda bez względu na to jakie jest początkowe przyporządkowanie. Takie zdania nazywamy tautologiami rachunku zdań. Przykładami tautologii są $(p_0\vee \neg p_0)$ i $\big((p_0\wedge p_0)\Rightarrow p_0)\big)$.
• Skończone ciągi zdań mogą utworzyć dowód.

Podział zdań

• Zdania proste - w których nie występuje żaden spójnik
• Zdanie złożone - w których występuje co najmniej jeden spójnik

Zdania w rachunku kwantyfikatorów

W rachunku kwantyfikatorów struktura studiowanych wyrażeń jest o wiele bogatsza niż w rachunku zdań i zdania są tylko specjalnym rodzajem tychże wyrażeń.

Definicja

Ustalmy alfabet $\tau$ który jest zbiorem stałych, symboli funkcyjnych i symboli relacyjnych (predykatów). Każdy z symboli ma określoną arność (która jest dodatnią liczbą całkowitą). Ustalamy też listę zmiennych (zwykle $x_0,x_1,\ldots$). Najpierw definiujemy termy języka ${\mathcal L}(\tau)$ jako elementy najmniejszego zbioru ${\bold T}$ takiego, że:

• wszystkie stałe i zmienne należą do ${\bold T}$,
• jeśli $t_1,\ldots,t_n\in {\bold T}$ i $f\in\tau$ jest $n$-arnym symbolem funkcyjnym, to $f(t_1,\ldots,t_n)\in {\bold T}$.

Następnie określamy zbiór formuł języka ${\mathcal L}(\tau)$ jako najmniejszy zbiór ${\bold F}$ taki, że:

• jeśli $t_1, t_2\in {\bold T}$, to $t_1= t_2$ należy do ${\bold F}$,
• jeśli $t_1,\ldots,t_n\in {\bold T}$ zaś $P\in\tau$ jest $n$-arnym symbolem relacyjnym, to wyrażenie $P(t_1,\ldots,t_n)$ należy do ${\bold F}$,
• jeśli $\varphi,\psi\in {\bold F}$ i $*$ jest binarnym spójnikiem zdaniowym, to $(\varphi*\psi)\in {\bold F}$ oraz $\neg \varphi\in {\bold F}$,
• jeśli $x_i$ jest zmienną oraz $\varphi\in {\bold F}$, to także $(\exists x_i)(\varphi)\in {\bold F}$ i $(\forall x_i)(\varphi)\in {\bold F}$.

W formułach postaci $(\exists x_i)(\varphi)$ i $(\forall x_i)(\varphi)$ mówimy że zmienna $x_i$ znajduje się w zasięgu kwantyfikatora i jako taka jest związana.

Zdanie w języku pierwszego rzędu ${\mathcal L}(\tau)$ to taka formuła, w której każda zmienna jest związana, tj. znajduje się w zasięgu działania jakiegoś kwantyfikatora.

Przykłady i własności

• Następujące formuły są zdaniami (dla odpowiednio dobranego alfabetu $\tau$): $(\forall x_1)(\exists x_2)(x_2=f(x_1))$, $(\forall x_2)(\exists x_1)(x_2=f(x_1))$, AC, CH
• Następująca formuła nie jest zdaniem ponieważ zmienna $x_1$ nie jest związana: $(\forall x_2)(\exists x_3)(x_1=x_2+x_3)$.
• Jeśli stałe, symbole funkcyjne i symbole relacyjne alfabetu $\tau$ zostaną zinterpretowane (czyli gdy zbudujemy model dla naszego języka), to o każdym zdaniu możemy rozstrzygnąć czy jest ono spełnione w tym modelu czy też nie.

Zdania w innych logikach

Definicja zdania sformułowana powyżej dla logiki pierwszego rzędu może być w naturalny sposób przeniesiona na grunt innych logik. W szczególności w bardzo podobny sposób określamy czym jest zdanie w

• logikach nieskończonościowych (zezwalających na użycie nieskończonych koniunkcji czy też nieskończenie wielu kwantyfikatorów),
• logikach ze specjalnymi kwantyfikatorami (takimi jak kwantyfikator Magidora-Malitza),
• logice z $\varepsilon$-symbolem Hilberta,
• logikach wyższych rzędów

Zobacz też

• rachunek predykatów pierwszego rzędu
• formuła logiczna
• teoria modeli
• język logiczny