Zwrot wektora

Ilustracja wektora

Zwrot wektora – jedna z podstawowych własności charakteryzujących wektor, obok jego kierunku, długości i (dla wektora zaczepionego) punktu zaczepienia.

Intuicyjnie: Zwrot wektora rozróżnia dwa wektory o tym samym kierunku (czyli równoległe do siebie), zwrócone w przeciwne strony. Jeśli wektory są zwrócone w tę samą stronę, to ich zwroty są zgodne, jeśli w przeciwną, to zwroty są przeciwne.

Dla dwóch wektorów o różnych kierunkach, oraz gdy którykolwiek z nich jest wektorem zerowym, nie można określić czy mają zgodny, czy przeciwny zwrot.

Zmiana znaku współrzędnych wektora swobodnego lub zamiana początku i końca wektora zaczepionego zmienia zwrot wektora na przeciwny.

Związek z kątem między wektorami

Dwa niezerowe wektory o tym samym kierunku (równoległe, czyli w szczególności także leżące na jednej prostej):

• mają zgodne zwroty gdy kąt między wektorami wynosi 0°;
• mają zwroty przeciwne gdy kąt między wektorami wynosi 180°.

Związek z iloczynem skalarnym

Niezerowe wektory o tym samym kierunku:

• mają zgodne zwroty, gdy iloczyn skalarny wektorów jest dodatni;
• mają przeciwne zwroty, gdy jest ujemny.

Przykłady zastosowań

Przykłady w fizyce:

• zwrot wektora prędkości ciała, gdy porusza się ono z punktu A do punktu B, jest zgodny ze zwrotem wektora AB (czyli wektora przemieszczenia).
• zwrot wektorów sił grawitacji, a także dowolnych innych sił przyciągających dwa ciała:
  • zwrot wektora siły działającej na ciało A jest zgodny ze zwrotem wektora AB,
  • zwrot wektora siły działającej na ciało B jest zgodny ze zwrotem wektora BA.

Definicja formalna

Formalnie określana jest pewna relacja równoważności $\mathfrak{R}$ w zbiorze niezerowych wektorów o tym samym kierunku:

Dwa niezerowe wektory zaczepione o tym samym kierunku są w relacji $\mathfrak{R}$ z definicji wtedy i tylko wtedy, gdy po przesunięciu jednego z nich tak, aby ich początki się pokrywały, ich końce leżą na tej samej półprostej o tym samym kierunku co każdy z wektorów i zaczynającej się w ich wspólnym początku.

• $\mathfrak{R}$ jest relacją równoważności, zwrot wektora zaczepionego to ta z jej klas abstrakcji do której należy dany wektor.
• Zwrot wektora swobodnego to zwrot jego dowolnego zaczepionego odpowiednika.
• Dwa wektory mają zgodny zwrot, gdy są ze sobą w tak zdefiniowanej relacji.

Ponieważ iloczyn skalarny można zdefiniować bez powoływania się na zwrot wektora, można tę relację zdefiniować także na inne sposoby, dla wektorów swobodnych, korzystając z podanych wcześniej właściwości, np.

• dwa wektory mają ten sam zwrot, gdy ich iloczyn skalarny jest dodatni.
• dwa wektory mają ten sam zwrot, gdy kąt pomiędzy nimi jest równy zero.